Empregando a transformada de Laplace, mostrar que o problema de valor inicial
y^prime prime+omega^2 y=0, y(0)=A, y^prime(0)=B possui a solução y(t)=A cos omega t+Bomega sen omega t.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + omega^2y = 0, y(0)=A, y'(0)=B
e pede para usar a transformada de Laplace para encontrar y(t). Vamos precisar das fórmulas
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly = Y(s),
e das transformadas inversas básicas para cosomega t e sinomega t.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace na equação y'' + omega^2y = 0. Chamando Y(s)=Ly(t), obtemos:
Ly'' + omega^2,Ly = 0 Longrightarrow l(s^2Y(s)-sA - Br) + omega^2Y(s) = 0

Passo 3

Agrupando em Y(s) e isolando, temos
(s^2 + omega^2),Y(s) = sA + B Longrightarrow Y(s) = sA + Bs^2 + omega^2

Passo 4

Separamos Y(s) em duas parcelas:
Y(s) = Acdotss^2+omega^2 ;+; Bcdot1s^2+omega^2
Sabemos que
L^-1!lss^2+omega^2r = cosomega t, L^-1!lomegas^2+omega^2r = sinomega t
Logo,
L^-1!ltfrac1s^2+omega^2r = 1omega,sinomega t

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo de Y(s), obtemos
y(t) = Acosomega t + Bcdot1omegasinomega t = Acosomega t + Bomegasinomega t

Resposta

y(t)=Acosomega t + dfracBomegasinomega t.

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