Questão 7. As integrais abaixo são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta
integral1^+infty x^3x^4+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral1^+inftyx^3x^4+1,dx
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias no infinito e o teste de comparação assintótica.

Passo 2

Observamos que o único ponto de impropriedade é o limite superior +infty. Portanto reescrevemos
integral1^+inftyx^3x^4+1,dx =limRto+inftyintegral1^Rx^3x^4+1,dx

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação, note que para todo x>=1 temos
x^4+1<= x^4+x^4=2x^4 Longrightarrow x^3x^4+1>=x^32x^4=12x

Passo 4

Como
integral1^+infty12x,dx =12integral1^+infty1x,dx =12l[ln xr]1^+infty =+infty,
a integral comparada diverge. Pelo teste de comparação, a integral original também diverge.

Resposta

A integral integral1^+inftyx^3x^4+1,dx é divergente.

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