Empregando a transformada de Laplace, mostrar que o problema de valor inicial
y^prime prime-a^2 y=0, y(0)=k1, y^prime(0)=k2 possui a solução y(t)=k1 cosh a t+k2a senh a t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - a^2y = 0, y(0)=k1, y'(0)=k2
usando a transformada de Laplace. O conteúdo aqui é aplicar a definição de transformada a derivadas, resolver a equação algébrica em s e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados de y'' - a^2y=0, e lembrando que
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
e que Ly(s)=Y(s), obtemos
l(s^2Y(s)-s,k1-k2r);-;a^2Y(s);=;0

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s),
(s^2-a^2),Y(s)=s,k1+k2,
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Y(s)=s,k1+k2s^2-a^2 =;k1,ss^2-a^2 ;+;k2,1s^2-a^2
Aqui usamos que
Lcosh(a t)(s)=ss^2-a^2
e
Lsinh(a t)(s)=as^2-a^2.

Passo 4

Para inverter, notamos
ss^2-a^2 long<=ftrightarrow cosh(a t), 1s^2-a^2 =1a,as^2-a^2 long<=ftrightarrow 1asinh(a t)
Portanto
y(t) =k1cosh(a t) +;k2,1asinh(a t)

Resposta

y(t)=k1cosh(a t)+k2asinh(a t)

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