Considere a função
. Determine as raízes ou zeros dessa função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as suas raízes (ou zeros). Em termos claros, as perguntas são:
- Encontrar os valores de
tais que .
Informações relevantes extraídas do enunciado: - Coeficientes do polinômio quadrático:
, , .
Passo 2
O que significa “raiz” ou “zero” de uma função polinomial?
- Uma raiz é um número
que, ao ser substituído na função, faz com que o valor da função seja zero. Ou seja, buscamos as soluções de
Métodos habituais para resolver essa equação quadrática: fatoração (quando possível), ou a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Como os coeficientes são pequenos e inteiros, vamos tentar fatorar primeiro — normalmente é mais rápido e menos algorítmico na prova.
Passo 3
Como fatorar
?
- A ideia: procurar dois números
e que satisfaçam
- Liste as possibilidades (fatores inteiros de
): -
(produto , soma ) -
(produto , soma )
-
- A escolha correta é
e , porque a soma é . - Usando isso, escreve-se o polinômio como soma de termos que permitem fatorar por agrupamento:
Agora fatorando por agrupamento:
Verificação rápida expandindo:
portanto a fatoração está correta.
Passo 4
Encontrar as soluções a partir da fatoração.
- Se
, então pelo princípio do produto nulo (produto de dois fatores é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero) temos as equações
- Resolvendo cada uma:
(Faça sempre uma checagem rápida substituindo esses valores na função original:
Passo 5
(Solução alternativa — uso da fórmula quadrática, para confirmar)
- A fórmula geral para as raízes de
é
onde
é o discriminante.
- Aqui
, , . Calcula-se o discriminante:
Logo
e
Isso dá
e
, confirmando os resultados obtidos por fatoração.