Considere a função y=x^{2}+4 x-5. Determine as raízes ou zeros dessa função.

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}+4x-5 e pede para determinar as suas raízes (ou zeros). Em termos claros, as perguntas são:
  • Encontrar os valores de x tais que y=0.
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes do polinômio quadrático: a=1, b=4, c=-5.

Passo 2

O que significa “raiz” ou “zero” de uma função polinomial?
  • Uma raiz é um número x que, ao ser substituído na função, faz com que o valor da função seja zero. Ou seja, buscamos as soluções de
x^{2}+4x-5=0.
Métodos habituais para resolver essa equação quadrática: fatoração (quando possível), ou a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Como os coeficientes são pequenos e inteiros, vamos tentar fatorar primeiro — normalmente é mais rápido e menos algorítmico na prova.

Passo 3

Como fatorar x^{2}+4x-5?
  • A ideia: procurar dois números r e s que satisfaçam
r\cdot s = c = -5 \qquad\text{e}\qquad r + s = b = 4.
  • Liste as possibilidades (fatores inteiros de -5):
    • r=-1,\\ s=5 (produto -5, soma -1+5=4)
    • r=1,\\ s=-5 (produto -5, soma 1+(-5)=-4)
  • A escolha correta é r=-1 e s=5, porque a soma é 4.
  • Usando isso, escreve-se o polinômio como soma de termos que permitem fatorar por agrupamento:
x^{2}+4x-5 = x^{2}-x+5x-5.
Agora fatorando por agrupamento:
x^{2}-x+5x-5 = x(x-1)+5(x-1) = (x+5)(x-1).
Verificação rápida expandindo:
(x+5)(x-1)=x^{2}-x+5x-5=x^{2}+4x-5,
portanto a fatoração está correta.

Passo 4

Encontrar as soluções a partir da fatoração.
  • Se (x+5)(x-1)=0, então pelo princípio do produto nulo (produto de dois fatores é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero) temos as equações
x+5=0 \qquad\text{ou}\qquad x-1=0.
  • Resolvendo cada uma:
x+5=0 \Rightarrow x=-5,
x-1=0 \Rightarrow x=1.
(Faça sempre uma checagem rápida substituindo esses valores na função original:
\text{para }x=1:\quad 1^{2}+4\cdot1-5=1+4-5=0,
\text{para }x=-5:\quad (-5)^{2}+4(-5)-5=25-20-5=0.) \)

Passo 5

(Solução alternativa — uso da fórmula quadrática, para confirmar)
  • A fórmula geral para as raízes de ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante.
  • Aqui a=1, b=4, c=-5. Calcula-se o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36.
Logo \sqrt{\Delta}=6 e
x=\frac{-4\pm6}{2}.
Isso dá x=\dfrac{-4+6}{2}=\dfrac{2}{2}=1 e x=\dfrac{-4-6}{2}=\dfrac{-10}{2}=-5, confirmando os resultados obtidos por fatoração.

Resposta

x=1\n x=-5

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