a. Dada a função complexa f(z)=z^2+z+iz-i, z neq i, determine as funções reais u(x, y) e v(x, y) tais que f(z)=u(x, y)+i v(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para separar em parte real e imaginária a função complexa f(z)=z^2+z+iz-i, com z=x+iy. Vamos usar álgebra de complexos, expressando z como x+iy, calcular z^2 e racionalizar a fração para extrair suas partes real e imaginária.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e calculamos
z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+i,2xy

Passo 3

Em seguida racionalizamos a fração dfracz+iz-i. Primeiro identificamos
z+i=x+i(y+1), z-i=x+i(y-1)

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de z-i:
z+iz-i=(x+i(y+1))(x-i(y-1))x^2+(y-1)^2

Passo 5

Expandindo o numerador:
$$\begin{aligned}(x+i(y+1))(x-i(y-1))&=x2+(y+1)(y-1)+i\bigl(x(y+1)-x(y-1)\bigr)\&=x2+y^2-1+i(2x).
\end{aligned}$$

Passo 6

Logo o denominador é
x^2+(y-1)^2=x^2+y^2-2y+1,
e a fração fica
z+iz-i=x^2+y^2-1x^2+y^2-2y+1+i2xx^2+y^2-2y+1

Passo 7

Por fim somamos z^2 com essa fração:
f(z)=l(x^2-y^2r)+i(2xy)+x^2+y^2-1x^2+y^2-2y+1+i2xx^2+y^2-2y+1

Passo 8

Separando em parte real u(x,y) e imaginária v(x,y):
$$u(x,y)=x2-y2+\frac{x2+y2-1}{x2+y2-2y+1},\quad v(x,y)=2xy+\frac{2x}{x2+y2-2y+1}.
$$

Resposta

u(x,y)=x^2-y^2+dfracx^2+y^2-1x^2+y^2-2y+1, v(x,y)=2xy+dfrac2xx^2+y^2-2y+1

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