a. Dada a função complexa
, determine as funções reais
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para separar em parte real e imaginária a função complexa
, com
. Vamos usar álgebra de complexos, expressando
como
, calcular
e racionalizar a fração para extrair suas partes real e imaginária.
Passo 2
Escrevemos
e calculamos
Passo 3
Em seguida racionalizamos a fração
. Primeiro identificamos
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
:
Passo 5
Expandindo o numerador:
$$\begin{aligned}(x+i(y+1))(x-i(y-1))&=x2+(y+1)(y-1)+i\bigl(x(y+1)-x(y-1)\bigr)\&=x2+y^2-1+i(2x).
\end{aligned}$$
Passo 6
Logo o denominador é
e a fração fica
Passo 7
Por fim somamos
com essa fração:
Passo 8
Separando em parte real
e imaginária
:
$$u(x,y)=x2-y2+\frac{x2+y2-1}{x2+y2-2y+1},\quad v(x,y)=2xy+\frac{2x}{x2+y2-2y+1}.
$$