Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^nn! definida para x in R.
Calcule y^prime(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por série de potências, que é conteúdo de Diferenciação de séries de potências — podemos usar a propriedade de que dentro do raio de convergência (aqui infinito) dá para derivar termo a termo.

Passo 2

O primeiro passo é checar o raio de convergência. Como cada termo é x^n/n!, pela razão de Cauchy vemos que o raio é infinito. Logo, podemos diferenciar termo a termo.

Passo 3

Aplicando a derivada em cada termo da série:
y'(x)=ddxsumn=0^infty(-1)^nx^nn! =sumn=1^infty(-1)^nn,x^n-1n!

Passo 4

Simplificamos o fator n/n! = 1/(n-1)!, ficando:
y'(x)=sumn=1^infty(-1)^nx^n-1(n-1)!

Passo 5

Fazemos a mudança de índice m=n-1. Quando n=1, m=0, e ntoinfty vira mtoinfty. Substituindo:
y'(x)=summ=0^infty(-1)^m+1x^mm!

Passo 6

Fatorando um -1) para fora da soma:
y'(x)=-summ=0^infty(-1)^mx^mm!

Passo 7

Repare que summ=0^infty(-1)^mx^mm! é exatamente y(x). Logo, não há mais nada a calcular além de reconhecer que a série dentro da soma é y(x), o que nos dá o resultado final.

Resposta

y'(x)=-y(x)

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