Considere a função
definida para
.
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função definida por série de potências, que é conteúdo de Diferenciação de séries de potências — podemos usar a propriedade de que dentro do raio de convergência (aqui infinito) dá para derivar termo a termo.
Passo 2
O primeiro passo é checar o raio de convergência. Como cada termo é
, pela razão de Cauchy vemos que o raio é infinito. Logo, podemos diferenciar termo a termo.
Passo 3
Aplicando a derivada em cada termo da série:
Passo 4
Simplificamos o fator
, ficando:
Passo 5
Fazemos a mudança de índice
. Quando
,
, e
vira
. Substituindo:
Passo 6
Fatorando um
para fora da soma:
Passo 7
Repare que
é exatamente
. Logo, não há mais nada a calcular além de reconhecer que a série dentro da soma é
, o que nos dá o resultado final.