Usando que m=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, y0). f(x)=2 x-35-x, P(3, 32)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=2x-35-x no ponto P(x0,y0)=(3,tfrac32). O coeficiente angular m é dado por m=limhto0f(x0+h)-f(x0)h, isto é, a derivada f'(x0).

Passo 2

Para calcular f'(x) use a regra do quociente. Defina
u(x)=2x-3, v(x)=5-x, u'(x)=2, v'(x)=-1
Então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=2(5-x)-(2x-3)(-1)(5-x)^2=7(5-x)^2

Passo 3

Avalie a derivada em x0=3:
m=f'(3)=7(5-3)^2=74

Passo 4

Use a fórmula da reta tangente
y-y0=m(x-x0)
Substituindo m=tfrac74, x0=3 e y0=tfrac32, temos
y-32=74(x-3)
e isolando y:
y=74x-154

Resposta

y=\tfrac{7}{4}x-\tfrac{15}{4}

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