Usando que m=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0, y0). f(x)=-3x, P(3, f(3))

Passo 1

O enunciado nos pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = -3x no ponto P(3, f(3)), usando a definição de derivada como limite. O conteúdo é derivadas e equação de reta tangente.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(3) = -33 = -1, então o ponto é P(3, -1).

Passo 3

Aplicamos a definição de derivada:
m = limhto0 f(3+h)-f(3)h = limhto0 -33+h + 1h

Passo 4

Para simplificar, note que
-33+h + 1 = -3 + (3+h)3+h = h3+h,
então o quociente de diferença vira
h3+hh = 13+h,
e fazendo h to 0 obtemos m = tfrac13.

Passo 5

Com o coeficiente angular m = tfrac13 e o ponto P(3, -1), montamos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y - (-1) = 13(x - 3)

Passo 6

Por fim, simplificamos para a forma reduzida:
y + 1 = 13x - 1
e isolamos y:
y = 13x - 2

Resposta

y = \frac{1}{3}x - 2

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