Suponha que o volume de um gás ideal em certo recipiente seja 100 m^3 e que a temperatura seja 90^circ e k=8.
(a) Ache a taxa de variação de P por unidade de variação de T se V permanece fixo em 100 m^3.
(b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a taxa de variação na pressão, se a temperatura for aumentada para 92^circ.
(c) Ache a taxa de variação de V por unidade de variação em P se T permanece fixa em 90^circ.
(d) Suponha que a temperatura seja mantida constante. Use o resultado da parte (c) para encontrar a variação aproximada no volume, necessária para produzir a mesma variação na pressão que foi obtida na parte (b).

Passo 1

O enunciado usa a lei dos gases ideais, que relaciona pressão P, volume V e temperatura T por
P,V = k,T,
com k=8. Vamos precisar de derivadas parciais para obter taxas de variação de P em função de T (com V fixo) e de V em função de P (com T fixo).

Passo 2

Da lei P,V = k,T isolamos
P = k,TV
Diferenciando parcialmente em relação a T, mantendo V constante, obtemos
partial Ppartial T|V = kV

Passo 3

Na condição da parte (a), V=100. Logo
partial Ppartial T|V=100 = 8100 = 0,08

Passo 4

Para a parte (b), usamos aproximação linear
De<a P approx partial Ppartial T,De<a T = 0,08 times (92 - 90) = 0,08 times 2 = 0,16

Passo 5

Isolando V na lei dos gases, temos
V = k,TP
Diferenciando parcialmente em relação a P, com T constante,
partial Vpartial P|T = -k,TP^2

Passo 6

Na parte (c) tomamos T=90 e o P correspondente a essa condição e a V=100:
P = 8 times 90100 = 7,2
Então
partial Vpartial P|T=90 = -8 times 90(7,2)^2 = -72051,84 approx -13,89

Passo 7

Para a parte (d), queremos a variação de V que produz De<a P=0,16. Pela linearização,
De<a V approx partial Vpartial P,De<a P = -13,89 times 0,16 approx -2,22

Resposta

(a) partial Ppartial T|V=100=0,08
(b) De<a Papprox0,16
(c) partial Vpartial P|T=90approx -13,89
(d) De<a Vapprox -2,22

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