Considere a função y(x, t)=A(x-v t)^2 da posição x e do tempo t, com A e v constantes. Mostre explicitamente que esta função obedece à equação de ondas unidimensional com velocidade v de propagação.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a onda
y(x,t)=A,(x - v,t)^2
com partial^2 ypartial x^2 ;=;1v^2,partial^2 ypartial t^2, e constantes. O objetivo é mostrar que ela satisfaz a equação de ondas unidimensional
Conteúdo/matéria: derivadas parciais e regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular partial ypartial x = ddxi(A,xi^2),partial xipartial x = 2A,xi cdot 1 = 2A,(x - v,t) .
  1. Primeiro, definimos partial^2 ypartial x^2 = partialpartial xl[,2A,(x - v,t)r] = 2Acdotpartialpartial x(x - v,t) = 2Acdot1 = 2A , então .
  2. Usando ,
  3. Derivando de novo em :

Passo 3

Calcular partial ypartial t = ddxi(A,xi^2),partial xipartial t = 2A,xi ,(-v) = -2A,v,(x - v,t) .
  1. partial^2 ypartial t^2 = partialpartial tl[-2A,v,(x - v,t)r] = -2A,vcdotpartialpartial t(x - v,t) = -2A,vcdot(-v) = 2A,v^2 .
  2. Derivando de novo em :

Passo 4

Verificar a equação de ondas:
partial^2 ypartial x^2 = 2A, 1v^2,partial^2 ypartial t^2 = 1v^2,(2A,v^2) = 2A
Ambos os lados dão o mesmo valor, .

Resposta

A função partial^2 ypartial x^2 ;=;1v^2,partial^2 ypartial t^2, satisfaz explicitamente
ou seja, é solução da equação de ondas unidimensional com velocidade .

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