Considere a função
. Determine o domínio desta função, os intervalos de crescimento, decrescimento, pontos críticos (máximos, mínimos e pontos de inflexão), assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico desta função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. Vamos analisar domínio, crescimento e decrescimento via derivada primeira, concavidade e ponto de inflexão com a derivada segunda, além de assíntotas e esboçar o gráfico.
Passo 2
O domínio vem de exigir que o denominador não zere. Como
implica
, a função não está definida em
. Portanto o domínio é
.
Passo 3
Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada. Escrevendo
e usando regra do produto:
Passo 4
Analisando o sinal de
: o numerador anula em
e o denominador muda de sinal em
. Montando o quadro de sinais:
- Para
: numerador , denomino negativo → (decrescente). - Para
: numerador positivo, denominador positivo → (crescente). - Para
: numerador negativo, denominador positivo → (decrescente).
Logo há um máximo local em, com valor
Passo 5
Para a concavidade, calculamos a derivada segunda de
. Obtém-se
-
se → concavidade para baixo. -
se → concavidade para cima.
Há ponto de inflexão em, com
Passo 6
As assíntotas da função racional são:
- Vertical em
, pois o denominador zera ali e o numerador não anula. Para , . - Horizontal em
, já que o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), logo quando .
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Para
: a curva vem de , decresce e cai para em , concava para baixo. - Para
: sai de , cresce até o máximo em , ainda concava para baixo. - Para
: decresce de até se aproximar de zero, com ponto de inflexão em mudando para concavidade para cima, e se aproxima de .
Resposta
Domínio:
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Ponto crítico (máximo local): ,
.
Ponto de inflexão: ,
.
Não há mínimo local.
Assíntotas: vertical em e horizontal em
.
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Ponto crítico (máximo local):
Ponto de inflexão:
Não há mínimo local.
Assíntotas: vertical em