Considere a função y=3 x(x+8)^2. Determine o domínio desta função, os intervalos de crescimento, decrescimento, pontos críticos (máximos, mínimos e pontos de inflexão), assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico desta função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=3x(x+8)^2. Vamos analisar domínio, crescimento e decrescimento via derivada primeira, concavidade e ponto de inflexão com a derivada segunda, além de assíntotas e esboçar o gráfico.

Passo 2

O domínio vem de exigir que o denominador não zere. Como (x+8)^2=0 implica x=-8, a função não está definida em x=-8. Portanto o domínio é Rsetminus-8.

Passo 3

Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada. Escrevendo y=3x(x+8)^-2 e usando regra do produto:
y'=3(x+8)^-2+3xcdot(-2)(x+8)^-3= 3(x+8)^2-6x(x+8)^3 =3(x+8)-6x(x+8)^3 =24-3x(x+8)^3

Passo 4

Analisando o sinal de y'=24-3x(x+8)^3: o numerador anula em x=8 e o denominador muda de sinal em x=-8. Montando o quadro de sinais:
  • Para x<-8: numerador 24-3x>0, denomino negativo → y'<0 (decrescente).
  • Para -8: numerador positivo, denominador positivo → y'>0 (crescente).
  • Para x>8: numerador negativo, denominador positivo → y'<0 (decrescente).
    Logo há um máximo local em x=8, com valor y(8)=3cdot816^2=24256=332

Passo 5

Para a concavidade, calculamos a derivada segunda de y'=-3(x-8)(x+8)^-3. Obtém-se
y''=6x-16(x+8)^4 O denominador é sempre positivo (exceto em x=-8, fora do domínio). Assim:
  • y''<0 se x<16 → concavidade para baixo.
  • y''>0 se x>16 → concavidade para cima.
    Há ponto de inflexão em x=16, com y(16)=3cdot1624^2=48576=112

Passo 6

As assíntotas da função racional são:
  • Vertical em x=-8, pois o denominador zera ali e o numerador não anula. Para xto-8^pm, yto-infty.
  • Horizontal em y=0, já que o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), logo yto0 quando xtopminfty.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x<-8: a curva vem de yapprox0^-, decresce e cai para -infty em xto-8^-, concava para baixo.
  • Para -8: sai de -infty, cresce até o máximo em (8,3/32), ainda concava para baixo.
  • Para x>8: decresce de 3/32 até se aproximar de zero, com ponto de inflexão em (16,1/12) mudando para concavidade para cima, e se aproxima de y=0^+.

Resposta

Domínio: Rsetminus-8.
Intervalos de crescimento: (-8,8).
Intervalos de decrescimento: ( -infty,-8)cup(8,infty).
Ponto crítico (máximo local): x=8, y(8)=3/32.
Ponto de inflexão: x=16, y(16)=1/12.
Não há mínimo local.
Assíntotas: vertical em x=-8 e horizontal em y=0.

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