Use indução para demonstrar a desigualdade de Bernoulli: para x>-1 :
(1+x)^{n} \geq 1+n x
Mostre a aplicação da regra da resolução em desigualdades.

Passo 1

O enunciado pede que provemos, por indução, a desigualdade de Bernoulli: para x>-1 e todo n inteiro não negativo,
(1+x)^{n} \geq 1+n x.
Informações dadas:
  • x é um número real tal que x>-1 (isto garante 1+x>0).
  • n é um inteiro não negativo (vamos provar para n\in\mathbb{N}).
    O que pedir: demonstrar a desigualdade para todo n usando indução e mostrar quais regras de manipulação de desigualdades foram aplicadas durante a prova.

Passo 2

Explicação rápida do método por indução (passo-a-passo, como usar na prova):
  • Princípio da indução: para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}, faz-se:
    1. Base da indução: provar P(0) (ou P(1), conforme preferência).
    2. Passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k arbitrário (hipótese indutiva) e provar P(k+1).
    3. Conclusão: então P(n) vale para todo n.
  • Regras de resolução (manipulação de desigualdades) que usaremos e por que são válidas:
    • Se a\ge b e c\ge 0, então a+c \ge b+c (soma mantém a desigualdade).
    • Se a\ge b e \lambda>0, então \lambda a \ge \lambda b (multiplicação por positivo preserva o sentido).
    • Se r\ge 0, então r + s \ge s para qualquer s (adicionar termo não-negativo só aumenta).
    • Transitividade: se a\ge b e b\ge c então a\ge c.
      Vamos usar essas regras explicitamente na prova.

Passo 3

Base da indução.
Vou mostrar a base para n=0 (padrão conveniente) e comentar n=1.
  • Para n=0: (1+x)^{0}=1. O lado direito é 1+0\cdot x=1. Logo (1+x)^{0}=1 = 1+0\cdot x,portanto a desigualdade vale (igualdade neste caso).
  • Observação: para n=1 também vale com igualdade: (1+x)^{1}=1+x=1+1\cdot x. Essas verificações servem como base inicial.

Passo 4

Hipótese indutiva.
Suponha que para algum k\in\mathbb{N} já provamos
(1+x)^{k} \ge 1+kx.
Isto é a nossa hipótese indutiva. A meta é provar que então
(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x.

Passo 5

Passo indutivo: multiplicação por 1+x (verificando o sinal).
Como x>-1, temos 1+x>0. Pela regra que multiplica desigualdades por número positivo sem trocar o sinal, multiplicamos a desigualdade da hipótese indutiva por 1+x:
(1+x)\cdot(1+x)^{k} \ge (1+x)\cdot(1+kx).
O lado esquerdo é (1+x)^{k+1}. No lado direito, expandimos cuidadosamente:
(1+x)(1+kx)=1 + (k+1)x + kx^{2}.
Portanto obtemos
(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x + kx^{2}.

Passo 6

Usando que kx^{2} é não-negativo.
Note que x^{2}\ge 0 para todo real x, e k\ge 0 por hipótese, portanto
kx^{2}\ge 0.
Somando esta desigualdade ao termo 1+(k+1)x (ou, equivalentemente, observando que 1+(k+1)x+kx^{2} \ge 1+(k+1)x) e aplicando transitividade, obtemos da desigualdade do passo anterior:
(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x + kx^{2} \ge 1 + (k+1)x.
Assim mostramos o passo indutivo: a hipótese implica a propriedade para k+1.

Passo 7

Conclusão por indução e observações finais.
Pelo princípio da indução matemática, como a desigualdade vale para n=0 e o passo indutivo foi estabelecido, ela vale para todo n\in\mathbb{N}. Portanto, para todo x>-1 e todo inteiro não negativo n,
(1+x)^{n} \ge 1 + n x.
Observação sobre igualdade: a desigualdade é igualdade para n=0 e n=1 (qualquer x), e para n\ge 2 a desigualdade é estrita sempre que x\neq 0, porque o termo kx^{2} no passo indutivo seria positivo.

Resposta

(1+x)^{n} \geq 1+n x para todo x>-1 e todo n\in\mathbb{N}.

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