Use indução para demonstrar a desigualdade de Bernoulli: para
:
Mostre a aplicação da regra da resolução em desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede que provemos, por indução, a desigualdade de Bernoulli: para
e todo
inteiro não negativo,
Informações dadas:
-
é um número real tal que (isto garante ). -
é um inteiro não negativo (vamos provar para ).
O que pedir: demonstrar a desigualdade para todousando indução e mostrar quais regras de manipulação de desigualdades foram aplicadas durante a prova.
Passo 2
Explicação rápida do método por indução (passo-a-passo, como usar na prova):
- Princípio da indução: para provar que uma propriedade
vale para todo , faz-se: - Base da indução: provar
(ou , conforme preferência). - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e provar . - Conclusão: então
vale para todo .
- Base da indução: provar
- Regras de resolução (manipulação de desigualdades) que usaremos e por que são válidas:
- Se
e , então (soma mantém a desigualdade). - Se
e , então (multiplicação por positivo preserva o sentido). - Se
, então para qualquer (adicionar termo não-negativo só aumenta). - Transitividade: se
e então .
Vamos usar essas regras explicitamente na prova.
- Se
Passo 3
Base da indução.
Vou mostrar a base para (padrão conveniente) e comentar
.
Vou mostrar a base para
- Para
: . O lado direito é . Logo portanto a desigualdade vale (igualdade neste caso). - Observação: para
também vale com igualdade: . Essas verificações servem como base inicial.
Passo 4
Hipótese indutiva.
Suponha que para algum já provamos
Suponha que para algum
Isto é a nossa hipótese indutiva. A meta é provar que então
Passo 5
Passo indutivo: multiplicação por
(verificando o sinal).
Como , temos
. Pela regra que multiplica desigualdades por número positivo sem trocar o sinal, multiplicamos a desigualdade da hipótese indutiva por
:
Como
O lado esquerdo é
. No lado direito, expandimos cuidadosamente:
Portanto obtemos
Passo 6
Usando que
é não-negativo.
Note que para todo real
, e
por hipótese, portanto
Note que
Somando esta desigualdade ao termo
(ou, equivalentemente, observando que
) e aplicando transitividade, obtemos da desigualdade do passo anterior:
Assim mostramos o passo indutivo: a hipótese implica a propriedade para
.
Passo 7
Conclusão por indução e observações finais.
Pelo princípio da indução matemática, como a desigualdade vale para e o passo indutivo foi estabelecido, ela vale para todo
. Portanto, para todo
e todo inteiro não negativo
,
Pelo princípio da indução matemática, como a desigualdade vale para
Observação sobre igualdade: a desigualdade é igualdade para
e
(qualquer
), e para
a desigualdade é estrita sempre que
, porque o termo
no passo indutivo seria positivo.