Considere a função:
Z=cos (x^2+y^2)
Obtenha:
a) partial zpartial y(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de z definida por z=cos(x2+y2) em relação a y. O conteúdo envolvido é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, definimos uma função intermediária u(x,y)=x2+y2 para reescrever z=cos(u). Pela regra da cadeia temos
partial zpartial y=dzducdotpartial upartial y

Passo 3

Calculamos cada termo: como z=cos(u), então dz/du=−sin(u). E como u=x2+y2, tratamos x como constante e obtemos partial u/partial y=2y. Substituindo, fica
partial zpartial y=-sin(u)cdot2y

Passo 4

Finalmente, voltamos a u=x2+y2 para escrever a resposta em termos de x e y:
partial zpartial y=-2y,sin(x^2+y^2)

Resposta

partial zpartial y=-2ysinl(x^2+y^2r)

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