Resolva a equação diferencial dada.
d yd x=yx+raizx y, x>0, y>0

Passo 1

Temos a equação diferencial \ $ dydx = yx + raizx y, x>0,;y>0Isso é uma EDO de primeira ordem e homogênea (o lado direito depende de y/x). Vamos usar a substituição y = v x para reduzir a uma equação separável.

Passo 2

Fazendo y = v x, temos
dydx = xdvdx + v
Além disso
raizx y = raizx,(v x) = xraizv,
e o lado direito vira
yx + raizx y = v xx + xraizv = v1 + raizv
Logo
xdvdx + v = v1 + raizv

Passo 3

Reorganizando para dv/dx e separando variáveis:
xdvdx = v1 + raizv - v = -vraizv1 + raizv,
portanto
1 + raizvvraizv,dv = -dxx

Passo 4

Agora integramos cada lado:
integrall(v^-3/2 + v^-1r),dv = integral -dxx
Como
integral v^-3/2,dv = -2v^-1/2, integral v^-1,dv = ln v, integral -dxx = -ln x + C,
obtém-se
-2v^-1/2 + ln v = -ln x + C

Passo 5

Voltando a v = y/x e v^-1/2 = raizx/y, temos
-2raizxy + lnl(yxr) = -ln x + C
Somando +ln x em ambos os lados e reagrupar a constante, chega-se à forma mais limpa:

Passo 6

Resposta

ln y - 2raiztfracxy = C

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