Considere a função z=f(x, y) definida implicitamente por
sen(x)+sen(y)+sen(z)=1
Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto (pi2, 0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 0, 0\right) $. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagina que a superfície $ z = f(x, y) $ é como uma montanha, e o plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar. Para encontrar essa folha, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, que nos dão a inclinação da folha nas direções $ x $ e $ y $.

Passo 3

Como $ z $ está definida implicitamente pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
ddx [sin(x) + sin(y) + sin(z)] = ddx [1]
Aqui, derivamos $ \sin(y) $ em relação a $ x $, que é zero porque $ y $ é tratado como constante em derivadas parciais.

Passo 5

Resolvendo para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partial zpartial x

Passo 6

Da mesma forma, diferenciando a equação original em relação a $ y $:
y
Resulta em:
ddy [sin(x) + sin(y) + sin(z)] = ddy [1]

Passo 7

Resolvendo para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y

Passo 8

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto específico $ \left(\frac{\pi}{2}, 0, 0\right) $.
Primeiro, calculamos $ \cos(x) $ e $ \cos(z) $:
(pi2, 0, 0)
Então:
cos(x)

Passo 9

Agora, para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial y
Então:
y = 0 Rightarrow cos(0) = 1 cos(z) = cos(0) = 1

Passo 10

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
(x0, y0, z0)
Substituindo os valores:
z = z0 + partial zpartial x(x0, y0)(x - x0) + partial zpartial y(x0, y0)(y - y0)

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = -y $.

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