Considere a função
definida implicitamente por
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 0, 0\right) $. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagina que a superfície $ z = f(x, y) $ é como uma montanha, e o plano tangente é como uma folha de papel que toca a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar. Para encontrar essa folha, precisamos das derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, que nos dão a inclinação da folha nas direções $ x $ e $ y $.
Passo 3
Como $ z $ está definida implicitamente pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Isso resulta em:
Aqui, derivamos $ \sin(y) $ em relação a $ x $, que é zero porque $ y $ é tratado como constante em derivadas parciais.
Passo 5
Resolvendo para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 6
Da mesma forma, diferenciando a equação original em relação a $ y $:
Resulta em:
Passo 7
Resolvendo para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 8
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto específico $ \left(\frac{\pi}{2}, 0, 0\right) $.
Primeiro, calculamos $ \cos(x) $ e $ \cos(z) $:
Então:
Passo 9
Agora, para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Então:
Passo 10
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = -y $.