Considere a função z=f(x, y) definida implicitamente por
sen(x)+sen(y)+sen(z)=1
Sabendo que f(0, pi6)=pi6, calcule nabla f(0, pi6).

Passo 1

Então, temos a função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de $ f $ no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $, ou seja, encontrar $ \nabla f\left(0, \frac{\pi}{6}\right) $. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar implicitamente a equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Diferenciando em relação a $ x $:
x
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
partialpartial x [sin(x) + sin(y) + sin(z)] = cos(x) + cos(z) cdot partial zpartial x = 0

Passo 4

Diferenciando em relação a $ y $:
y
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partialpartial y [sin(x) + sin(y) + sin(z)] = cos(y) + cos(z) cdot partial zpartial y = 0

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $. Sabemos que $ f\left(0, \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} $, então $ z = \frac{\pi}{6} $.
Calculando os cossenos:
(0, pi6)

Passo 6

Substituindo na derivada parcial em relação a $ x $:
x

Passo 7

Substituindo na derivada parcial em relação a $ y $:
y

Resposta

Portanto, o gradiente de $ f $ no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $ é:
f

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