Considere a função
definida implicitamente por
Sabendo que
, calcule
.
Passo 1
Então, temos a função $ z = f(x, y) $ definida pela equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $. Nosso objetivo aqui é calcular o gradiente de $ f $ no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $, ou seja, encontrar $ \nabla f\left(0, \frac{\pi}{6}\right) $. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar implicitamente a equação $ \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) = 1 $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Diferenciando em relação a $ x $:
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Passo 4
Diferenciando em relação a $ y $:
Isolando $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $. Sabemos que $ f\left(0, \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} $, então $ z = \frac{\pi}{6} $.
Calculando os cossenos:
Passo 6
Substituindo na derivada parcial em relação a $ x $:
Passo 7
Substituindo na derivada parcial em relação a $ y $:
Resposta
Portanto, o gradiente de $ f $ no ponto $ \left(0, \frac{\pi}{6}\right) $ é: