Questão C. (campos de 3-vetores em mathbb{R}^{3} )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Mostre que:
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3 -paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2 -vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para o campo de 2 -vetores: \mathcal{F}=2 x^{2} \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(2 x-y) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+z^{2} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Passo 1
O enunciado pede para calcular \nabla \mathcal{F} onde \mathcal{F} é um campo de 2-vetores dado por
Portanto, a tarefa é: (1) calcular \nabla P,\nabla Q,\nabla R e (2) avaliar os respectivos produtos em wedge com os bivetores indicados e somar os resultados.
Passo 2
Lembrando o que é o gradiente: para uma função escalar S(x,y,z),
Agora precisamos reescrever \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} e \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} na ordem \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. Observe que as permutações cíclicas de três elementos têm sinal +\!1, isto é:
Portanto, as fórmulas ficam simples: o wedge com \vec{\jmath}\wedge\vec{k} “pega” a componente a_{1}, o wedge com \vec{k}\wedge\vec{\imath} pega a componente a_{2} e o wedge com \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} pega a componente a_{3}, sempre multiplicando a base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Passo 4
Aplicando o que dissemos aos gradientes calculados: