Questão C. (campos de 3-vetores em mathbb{R}^{3} )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Mostre que:
\|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\|=\langle\vec{u} \times \vec{v}, \vec{w}\rangle
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3 -paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2 -vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para o campo de 2 -vetores: \mathcal{F}=2 x^{2} \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(2 x-y) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+z^{2} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \nabla \mathcal{F} onde \mathcal{F} é um campo de 2-vetores dado por
\mathcal{F}=2x^{2}\cdot \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(2x-y)\cdot \vec{k}\wedge\vec{\imath}+z^{2}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Aqui podemos identificar as funções escalares que multiplicam as bases bivetoriais:
P(x,y,z)=2x^{2},\qquad Q(x,y,z)=2x-y,\qquad R(x,y,z)=z^{2}.
A definição fornecida é
\nabla\mathcal{F}=\nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+\nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}+\nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Portanto, a tarefa é: (1) calcular \nabla P,\nabla Q,\nabla R e (2) avaliar os respectivos produtos em wedge com os bivetores indicados e somar os resultados.

Passo 2

Lembrando o que é o gradiente: para uma função escalar S(x,y,z),
\nabla S=\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)\vec{\imath}+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)\vec{\jmath}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)\vec{k}.
Vamos aplicar isso a cada componente:
  • Para P(x,y,z)=2x^{2}:
\frac{\partial P}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=0,
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\nabla P=(4x)\vec{\imath}+0\cdot\vec{\jmath}+0\cdot\vec{k}.
  • Para Q(x,y,z)=2x-y:
\frac{\partial Q}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=-1,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,
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\nabla Q=2\vec{\imath}+(-1)\vec{\jmath}+0\cdot\vec{k}.
  • Para R(x,y,z)=z^{2}:
\frac{\partial R}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial z}=2z,
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\nabla R=0\cdot\vec{\imath}+0\cdot\vec{\jmath}+(2z)\vec{k}.

Passo 3

Agora precisamos entender como calcular o wedge entre um vetor e um bivetor. Seja um vetor genérico
\vec{a}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k}.
Pela bilinearidade do wedge e pela propriedade de antissimetria (repetição dá zero), temos:
\vec{a}\wedge(\vec{\jmath}\wedge\vec{k})=a_{1}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+a_{2}\,\vec{\jmath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+a_{3}\,\vec{k}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
As parcelas com vetores repetidos são nulas, então sobra
\vec{a}\wedge(\vec{\jmath}\wedge\vec{k})=a_{1}\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
De modo semelhante,
\vec{a}\wedge(\vec{k}\wedge\vec{\imath})=a_{2}\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}
e
\vec{a}\wedge(\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath})=a_{3}\,\vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Agora precisamos reescrever \vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath} e \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} na ordem \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. Observe que as permutações cíclicas de três elementos têm sinal +\!1, isto é:
\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}=\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}, \qquad \vec{k}\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Portanto, as fórmulas ficam simples: o wedge com \vec{\jmath}\wedge\vec{k} “pega” a componente a_{1}, o wedge com \vec{k}\wedge\vec{\imath} pega a componente a_{2} e o wedge com \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} pega a componente a_{3}, sempre multiplicando a base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 4

Aplicando o que dissemos aos gradientes calculados:
  • Primeiro termo:
\nabla P\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=(4x \,\vec{\imath})\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}=4x\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Segundo termo:
\nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}=(2\vec{\imath}-1\vec{\jmath})\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}.
Pelo raciocínio do passo anterior só a componente na direção \vec{\jmath} (ou seja a_{2}=-1) contribui, portanto
\nabla Q\wedge\vec{k}\wedge\vec{\imath}=(-1)\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Terceiro termo:
\nabla R\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=(2z\,\vec{k})\wedge\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=2z\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 5

Somando os três termos obtemos
\nabla\mathcal{F}=\bigl(4x+(-1)+2z\bigr)\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Ou seja,
\nabla\mathcal{F}=(4x-1+2z)\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Resposta

\nabla\mathcal{F}=(4x-1+2z)\;\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}

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