As extremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2 m e 1 m . A altura do cocho e de 0,6 m. Se o nível da água está subindo a razão de 0,1 cm / min, quando a profundidade da água é de 0,3 m, com que velocidade a água está entrando no cocho?

Passo 1

O enunciado descreve um cocho horizontal de comprimento 8 m com seções transversais em forma de trapézio isósceles de base inferior 1 m, base superior 2 m e altura total 0,6 m. A água sobe a uma taxa
dhdt=0,1 cm/min=0,001 m/min. Precisamos usar cálculo de taxas relacionadas: volume V em função da profundidade h, depois aplicar a regra da cadeia para achar dV/dt.

Passo 2

Para cada profundidade h, a largura superior da água b(h) varia linearmente entre 1 m (em h=0) e 2 m (em h=0,6) por semelhança de triângulos. Logo,
b(h)=1+2-10,6,h=1+h0,6 \nA área da seção molhada é a área de um trapézio de bases 1 m e b(h) e altura h:
A(h)=1+b(h)2,h=1+l(1+h0,6r)2,h=h+h^21,2

Passo 3

O volume de água no cocho é
V(h)=(comprimento)times A(h)=8gl(h+h^21,2gr)
Derivando em relação ao tempo e usando regra da cadeia:
dVdt=8gl(1+2h1,2gr)dhdt=8l(1+h0,6r)dhdt

Passo 4

Substituindo h=0,3 m e dhdt=0,001 m/min:
dVdt=8l(1+0,30,6r)times0,001=8times1,5times0,001=0,012 m^3/min

Resposta

A água está entrando no cocho à razão de 0,012 m³/min.

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