F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sin z k, C: r(t)=t^2 i+sin t j+t k, 0 <= t <= pi
Determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

A questão fornece o campo vetorial F(x,y,z)=y^2cos z,i+2xycos z,j-xy^2sin z,k e pede para encontrar uma função escalar f(x,y,z) tal que nabla f=F. O tema aqui é campos conservativos e potencial escalares; para resolver, vamos integrar cada componente parcial e ajustar uma função de “constante” que depende das outras variáveis.

Passo 2

Começamos integrando a componente P(x,y,z)=y^2cos z em relação a x. Ou seja,
f(x,y,z)=integral y^2cos z,dx = x,y^2cos z + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função de y e z que aparece como “constante” de integração.

Passo 3

Agora derivamos a expressão obtida em relação a y e igualamos à componente Q(x,y,z)=2xycos z:
partial fpartial y=2x ycos z + partial hpartial y(y,z) stackrel!=2xycos z
Da igualdade acima vemos que partial h/partial y=0, logo h(y,z)=phi(z), uma função apenas de z.

Passo 4

Por fim, derivamos f(x,y,z)=x y^2cos z + phi(z) em relação a z e igualamos à componente R(x,y,z)=-xy^2sin z:
partial fpartial z=-x y^2sin z + phi'(z) stackrel!=-x y^2sin z
Da condição acima vem phi'(z)=0, ou seja, phi(z) é constante. Podemos então escolher essa constante como zero sem perda de generalidade.

Resposta

Uma escolha conveniente é
f(x,y,z)=x,y^2cos z+ C,
normalmente tomada como f(x,y,z)=x y^2cos z.

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