Verifique que o conjunto de funções , sen ; , onde e é ortogonal para no intervalo .
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto de funções {, ; , } é ortogonal no intervalo . O conteúdo é ortogonalidade de funções, e vamos precisar usar o produto interno definido por integral em e identidades trigonométricas para avaliar essas integrais.
Passo 2
Definimos o produto interno entre duas funções e como
Para provar ortogonalidade precisamos mostrar que esse produto interno é zero sempre que as funções forem distintas.
Passo 3
Para o par e com usamos a identidade
Assim,
Cada integral de sobre vale
já que sin(kpi)=0. Logo esse produto interno é zero.
Passo 4
Para o par sin(npi x) e sin(n'pi x) com nneq n' usamos
sin Asin B=tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e procedemos de modo análogo, obtendo
integral-1^1sin(npi x)sin(n'pi x),dx=0
pelas mesmas razões (integral de cos(kpi x) sobre [-1,1] é zero).
Passo 5
Para funções de tipos diferentes, isto é cos(mpi x) e sin(npi x), usamos
cos Asin B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Como a integral de sin(kpi x) em [-1,1] satisfaz
integral-1^1sin(kpi x),dx=-cos(kpi x)kpi|-1^1=0
e também se anula, concluímos que
integral-1^1cos(mpi x)sin(npi x),dx=0
Passo 6
Assim, mostramos que para quaisquer índices distintos ou para funções de tipo distinto o produto interno é zero. Portanto o conjunto cos(mpi x),,sin(npi x) é ortogonal em (-1,1).
Resposta
O conjunto é ortogonal no intervalo (-1,1), pois todas as integrais dos produtos de pares distintos de funções do conjunto resultam em zero.