Verifique que o conjunto de funções cos (m pi x), sen (n pi x) ; m=0,1,2, ldots; n=1,2,3, ldots, onde m=0,1,2, ldots e n=1,2,3, ldots é ortogonal para x no intervalo (-1,+1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto de funções { cos(mpi x), sin(npi x); m=0,1,2,dots, n=1,2,3,dots} é ortogonal no intervalo (-1,1). O conteúdo é ortogonalidade de funções, e vamos precisar usar o produto interno definido por integral em [-1,1] e identidades trigonométricas para avaliar essas integrais.

Passo 2

Definimos o produto interno entre duas funções f(x) e g(x) como
lang<= f,grang<==integral-1^1f(x)g(x),dx
Para provar ortogonalidade precisamos mostrar que esse produto interno é zero sempre que as funções forem distintas.

Passo 3

Para o par cos(mpi x) e cos(m'pi x) com mneq m' usamos a identidade
cos Acos B=tfrac12l[cos(A-B)+cos(A+B)r]
Assim,
integral-1^1cos(mpi x)cos(m'pi x),dx=tfrac12integral-1^1cosl((m-m')pi xr),dx+tfrac12integral-1^1cosl((m+m')pi xr),dx
Cada integral de cos(kpi x) sobre [-1,1] vale
integral-1^1cos(kpi x),dx=sin(kpi x)kpi|-1^1=sin(kpi)-sin(-kpi)kpi=0,
já que sin(kpi)=0. Logo esse produto interno é zero.

Passo 4

Para o par sin(npi x) e sin(n'pi x) com nneq n' usamos
sin Asin B=tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
e procedemos de modo análogo, obtendo
integral-1^1sin(npi x)sin(n'pi x),dx=0
pelas mesmas razões (integral de cos(kpi x) sobre [-1,1] é zero).

Passo 5

Para funções de tipos diferentes, isto é cos(mpi x) e sin(npi x), usamos
cos Asin B=tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Como a integral de sin(kpi x) em [-1,1] satisfaz
integral-1^1sin(kpi x),dx=-cos(kpi x)kpi|-1^1=0
e também se anula, concluímos que
integral-1^1cos(mpi x)sin(npi x),dx=0

Passo 6

Assim, mostramos que para quaisquer índices distintos ou para funções de tipo distinto o produto interno é zero. Portanto o conjunto cos(mpi x),,sin(npi x) é ortogonal em (-1,1).

Resposta

O conjunto é ortogonal no intervalo (-1,1), pois todas as integrais dos produtos de pares distintos de funções do conjunto resultam em zero.

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