Considere a função z(x, y)=x sen(y) em que x=x(s, t)=s e^t e y=y(s, t)=s e^-t. Encontre partial zpartial s e partial zpartial t.

Passo 1

Temos a função composta z(x,y)=x sen(y), com x(s,t)=s e^t e y(s,t)=s e^{-t}. O objetivo é encontrar ∂z/∂s e ∂z/∂t usando a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Como passo intermediário, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y, tratando a outra variável como constante. Temos:
partial zpartial x=sin(y), partial zpartial y=xcos(y)

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t:
partial xpartial s=e^t, partial xpartial t=s,e^t, partial ypartial s=e^-t, partial ypartial t=-s,e^-t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂s:
partial zpartial s=partial zpartial xpartial xpartial s+partial zpartial ypartial ypartial s = sin(y)e^t + xcos(y)e^-t

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂t:
partial zpartial t=partial zpartial xpartial xpartial t+partial zpartial ypartial ypartial t = sin(y)(s e^t) + xcos(y)(-s e^-t)

Resposta

Substituindo x=s e^t e y=s e^{-t}, obtemos:
partial zpartial s=e^t,sin(s e^-t) + s,cos(s e^-t),
partial zpartial t=s,e^t,sin(s e^-t) - s^2,cos(s e^-t)

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