Encontre os pontos críticos da função
e os classifique (como máximo, mínimo ou sela) utilizando o teste da segunda derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como máximo, mínimo ou sela usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e, então, usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação para
:
Então,
ou
.
Resolvendo a segunda equação para
:
Então,
ou
.
Passo 5
Combinando os valores de
e
, obtemos os seguintes pontos críticos:
Passo 6
Para classificar esses pontos, vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 7
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada, que utiliza o determinante da matriz Hessiana
:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto
: Comoe , o ponto é um mínimo. -
Ponto
: Como, o ponto é uma sela. -
Ponto
: Como, o ponto é uma sela. -
Ponto
: Comoe , o ponto é um máximo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
- Mínimo. -
- Sela. -
- Sela. -
- Máximo.