Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=5+3 x^2+3 y^2+2 y^3+x^3 e os classifique (como máximo, mínimo ou sela) utilizando o teste da segunda derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los como máximo, mínimo ou sela usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e, então, usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a fx(x, y) = partial fpartial x = 6x + 3x^2 e fy(x, y) = partial fpartial y = 6y + 6y^2 .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
fx(x, y) = 6x + 3x^2 = 0
fy(x, y) = 6y + 6y^2 = 0

Passo 4

Resolvendo a primeira equação para 6x + 3x^2 = 0 Rightarrow 3x(2 + x) = 0 :
6y + 6y^2 = 0 Rightarrow 6y(1 + y) = 0
Então, ou .
Resolvendo a segunda equação para :
Então, ou .

Passo 5

Combinando os valores de e , obtemos os seguintes pontos críticos:

Passo 6

Para classificar esses pontos, vamos calcular as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6 + 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6 + 12y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada, que utiliza o determinante da matriz Hessiana D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 :
fxx = 6 + 6(0) = 6
Vamos calcular fyy = 6 + 12(0) = 6 para cada ponto crítico:
  1. Ponto D = 6 cdot 6 - 0 = 36 > 0 :
    fxx = 6 + 6(0) = 6
    fyy = 6 + 12(-1) = -6
    D = 6 cdot (-6) - 0 = -36 < 0
    Como fxx = 6 + 6(-2) = -6 e fyy = 6 + 12(0) = 6 , o ponto é um mínimo.
  2. Ponto D = (-6) cdot 6 - 0 = -36 < 0 :
    fxx = 6 + 6(-2) = -6
    fyy = 6 + 12(-1) = -6
    D = (-6) cdot (-6) - 0 = 36 > 0
    Como , o ponto é uma sela.
  3. Ponto :
    Como , o ponto é uma sela.
  4. Ponto :
    Como e , o ponto é um máximo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. - Mínimo.
  2. - Sela.
  3. - Sela.
  4. - Máximo.

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