Seja o campo
F=rho^k rho, k constante
Calcule nabla times F no sistema em que o campo foi apresentado.

Passo 1

Temos o campo F=rho^krho, expresso em coordenadas cilíndricas. O objetivo é calcular o rotacional (curl) de F nesse sistema e vamos precisar da fórmula de nablatimesF em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo F=Frhorho+Fphiphi+Fzz é:
(nablatimesF)rho=1rhol(partial Fzpartial phi-partialpartial z(rho Fphi)r),
(nablatimesF)phi=partial Frhopartial z-partial Fzpartial rho,
(nablatimesF)z=1rhol(partialpartial rho(rho Fphi)-partial Frhopartial phir)

Passo 3

Identificamos as componentes de F:
Frho=rho^k, Fphi=0, Fz=0
Não há dependência de phi nem de z, então muitas derivadas serão nulas.

Passo 4

Substituindo na fórmula, calculamos cada componente:
  1. (nablatimesF)rho=tfrac1rho(partialphi Fz-partialz(rho Fphi))=tfrac1rho(0-0)=0
  2. (nablatimesF)phi=partialz Frho-partialrho Fz=0-0=0
  3. (nablatimesF)z=tfrac1rho(partialrho(rho Fphi)-partialphi Frho)=tfrac1rho(0-0)=0

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que o campo é irrotacional.

Resposta

nablatimesF=0

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