Calcule a integral definida:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{tg}^{3}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\tan^{3}(x)\,dx
Trata-se de uma função trigonométrica que tem singularidade em x=\pi/2. Para decidir se a integral converge, precisamos:
  1. Decompor \tan^{3}x em termos mais fáceis de integrar.
  2. Encontrar uma primitiva válida em cada subintervalo.
  3. Analisar o comportamento perto de x=\pi/2 para ver se os limites à esquerda e à direita são finitos.

Passo 2

Usamos a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, daí
\tan^{3}x=\tan x\;\tan^{2}x=\tan x\,(\operatorname{sec}^{2}x-1) =\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x \;-\;\tan x.

Passo 3

Integramos termoa termo. Seja
F(x)=\int\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int\tan x\,dx.
Para a primeira parte, fazemos u=\tan x\implies du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, logo
\int\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\int u\,du=\frac{u^{2}}{2} =\frac{\tan^{2}x}{2}.
Para a segunda, sabe-se
\int\tan x\,dx=-\ln\!\bigl|\cos x\bigr|.
Portanto, uma primitiva geral é
F(x)=\frac{\tan^{2}x}{2}+\ln\!\bigl|\cos x\bigr|+C.

Passo 4

A integral original é imprópria em x=\pi/2. Escrevemos
\int_{0}^{\pi}\tan^{3}x\,dx =\lim_{a\to(\pi/2)^{-}}\int_{0}^{a}\tan^{3}x\,dx +\lim_{b\to(\pi/2)^{+}}\int_{b}^{\pi}\tan^{3}x\,dx.
Perto de x=\pi/2, \tan x\sim1/(\pi/2-x), logo \tan^{3}x\sim(\pi/2-x)^{-3}, cujo integral diverge (comportamento tipo \int(\pi/2-x)^{-3}dx). Assim cada limite de integração separada é infinito, e a soma não converge.

Passo 5

Como a integral imprópria não produz limites finitos em x=\pi/2, concluímos que
\int_{0}^{\pi}\tan^{3}x\,dx
é divergente. (Se alguém quisesse o valor no sentido de valor principal de Cauchy, daria 0, mas a integral própria não converge.)

Resposta

A integral diverge; não existe valor finito para \displaystyle\int_{0}^{\pi}\tan^{3}(x)\,dx.

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