Perto de x=\pi/2, \tan x\sim1/(\pi/2-x), logo \tan^{3}x\sim(\pi/2-x)^{-3}, cujo integral diverge (comportamento tipo \int(\pi/2-x)^{-3}dx). Assim cada limite de integração separada é infinito, e a soma não converge.
Passo 5
Como a integral imprópria não produz limites finitos em x=\pi/2, concluímos que
\int_{0}^{\pi}\tan^{3}x\,dx
é divergente. (Se alguém quisesse o valor no sentido de valor principal de Cauchy, daria 0, mas a integral própria não converge.)
Resposta
A integral diverge; não existe valor finito para \displaystyle\int_{0}^{\pi}\tan^{3}(x)\,dx.