Q1 *
Uma função
é uma função par se
; os gráficos cartesianos de funções pares são simétricos em relação ao eixo vertical. Analogamente, uma função
é uma função ímpar se
. Por exemplo,
é uma função par e
é uma função ímpar. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações. As informações dadas são:
- Definição de função par:
para todo . - Definição de função ímpar:
para todo . - Exemplos:
é par; é ímpar.
As afirmações a avaliar são:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par.
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar.
Passo 2
Analisando (I). Vou dar um contraexemplo simples: considere o polinômio
Esse polinômio tem grau
(par). Calcule
:
Compare com
. Como
(por exemplo, em
dá
), temos
. Portanto
não é uma função par. Conclusão: a afirmação (I) é falsa.
Passo 3
Analisando (II). Seja um polinômio genérico
com
(ou seja, grau
). Suponha que
seja ímpar, isto é,
para todo
. Escrevendo
obtemos
A igualdade
implica que, para cada
,
Agora veja o que isso força para os coeficientes:
- Se
é par então , e a igualdade vira , logo . - Se
é ímpar então , e a igualdade vira , que é sempre verdadeira (portanto coeficientes ímpares podem ser não nulos).
Assim todos os coeficientes de potências de expoente par devem ser zero. Isso significa que o maior índice
tal que
(isto é, o grau do polinômio) necessariamente é ímpar. Portanto, qualquer polinômio não nulo que seja função ímpar tem grau ímpar.
Observação sobre o polinômio zero: o polinômio identicamente zero satisfaz
(pois
), mas o grau do polinômio zero é um caso especial (algumas convenções o deixam indefinido). O enunciado usualmente refere-se a polinômios com grau bem definido (não nulo), daí a conclusão anterior se aplica. Em contexto de prova ou exercício, aceita-se que (II) é verdadeira.
Passo 4
Resumo final do raciocínio: (I) é falsa por contraexemplo; (II) é verdadeira (para polinômios não nulos), pois coeficientes de potências pares devem ser zero em polinômios ímpares, forçando o grau a ser ímpar.
Resposta
◯ Apenas (II) é Verdadeira