Q1 *
Uma função f é uma função par se f(-x)=f(x), \forall x; os gráficos cartesianos de funções pares são simétricos em relação ao eixo vertical. Analogamente, uma função g é uma função ímpar se g(-x)=-g(x), \forall x. Por exemplo, p(x)=x^{2} é uma função par e q(x)=x^{3} é uma função ímpar. Classifique em verdadeira ou falsa:
(I) Todo polinômio de grau par é uma função par
(II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações. As informações dadas são:
  • Definição de função par: f(-x)=f(x) para todo x.
  • Definição de função ímpar: g(-x)=-g(x) para todo x.
  • Exemplos: p(x)=x^{2} é par; q(x)=x^{3} é ímpar.
    As afirmações a avaliar são:
    (I) Todo polinômio de grau par é uma função par.
    (II) Todo polinômio que é uma função ímpar é um polinômio de grau ímpar.

Passo 2

Analisando (I). Vou dar um contraexemplo simples: considere o polinômio
f(x)=x^{2}+x.
Esse polinômio tem grau 2 (par). Calcule f(-x):
f(-x)=(-x)^{2}+(-x)=x^{2}-x.
Compare com f(x)=x^{2}+x. Como x^{2}-x\neq x^{2}+x (por exemplo, em x=1 0\neq2), temos f(-x)\neq f(x). Portanto f não é uma função par. Conclusão: a afirmação (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II). Seja um polinômio genérico
P(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}x^{k},
com a_{n}\neq 0 (ou seja, grau n). Suponha que P seja ímpar, isto é, P(-x)=-P(x) para todo x. Escrevendo P(-x) obtemos
P(-x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}(-x)^{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}(-1)^{k}x^{k}.
A igualdade P(-x)=-P(x) implica que, para cada k,
a_{k}(-1)^{k} = -a_{k}.
Agora veja o que isso força para os coeficientes:
  • Se k é par então (-1)^{k}=1, e a igualdade vira a_{k} = -a_{k}, logo a_{k}=0.
  • Se k é ímpar então (-1)^{k}=-1, e a igualdade vira -a_{k}=-a_{k}, que é sempre verdadeira (portanto coeficientes ímpares podem ser não nulos).
Assim todos os coeficientes de potências de expoente par devem ser zero. Isso significa que o maior índice n tal que a_{n}\neq0 (isto é, o grau do polinômio) necessariamente é ímpar. Portanto, qualquer polinômio não nulo que seja função ímpar tem grau ímpar.
Observação sobre o polinômio zero: o polinômio identicamente zero satisfaz P(-x)=-P(x) (pois 0=-0), mas o grau do polinômio zero é um caso especial (algumas convenções o deixam indefinido). O enunciado usualmente refere-se a polinômios com grau bem definido (não nulo), daí a conclusão anterior se aplica. Em contexto de prova ou exercício, aceita-se que (II) é verdadeira.

Passo 4

Resumo final do raciocínio: (I) é falsa por contraexemplo; (II) é verdadeira (para polinômios não nulos), pois coeficientes de potências pares devem ser zero em polinômios ímpares, forçando o grau a ser ímpar.

Resposta

◯ Apenas (II) é Verdadeira

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