Q 2 *
1 ponto
Assinale a função derivada do polinômio p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 :
(a) \frac{x^{4}}{4}-2 x^{3}+\frac{11 x^{2}}{2}-6 x
(b) x^{2}-6 x+11
(c) x^{2}-5 x+11
(d) 3 x^{2}-12 x+11
Marcar apenas uma oval.
◯ (a)
◯ (b)
◯ (c)
◯ (d)
◯ não sei

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6\, e pede para assinalar qual das alternativas é a função derivada de p. As alternativas são:
(a) \displaystyle \frac{x^{4}}{4}-2x^{3}+\frac{11x^{2}}{2}-6x
(b) \,x^{2}-6x+11\,
(c) \,x^{2}-5x+11\,
(d) \,3x^{2}-12x+11\,
(e) não sei
O que se pede: identificar a derivada p'(x) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

O que é derivada, de forma simples: derivada de uma função em x é a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Para polinômios usamos regras que tornam o cálculo direto, principalmente a regra do poder (power rule) e a linearidade.
Regra do poder: para f(x)=x^{n} com n inteiro positivo,
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x a variável; a regra diz que “trazemos o expoente para multiplicar e reduzimos o expoente em 1”.
Linearidade da derivada: se f e g são funções e a é constante, então
\big(a f(x)+g(x)\big)'=a f'(x)+g'(x).
Isto permite derivar termo a termo em somas de polinômios e tirar constantes multiplicativas.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo ao polinômio \,p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6\,:
  • Derivada de \,x^{3}: pela regra do poder, \,(x^{3})'=3x^{2}.
  • Derivada de -6x^{2}: a constante -6 sai na frente e (x^{2})'=2x, logo (-6x^{2})'=-6\cdot 2x=-12x.
  • Derivada de 11x: como (x)'=1, tem-se (11x)'=11\cdot 1=11.
  • Derivada da constante -6: (-6)'=0.

Passo 4

Somando os resultados obtidos pelo princípio de linearidade:
p'(x)=3x^{2}-12x+11+0=\;3x^{2}-12x+11.
Agora comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide com a alternativa (d).

Resposta

(d)

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