Determinar a partir da definição de derivadas:
As equações das retas tangentes das funções no ponto .
Passo 1
O enunciado pede as equações das retas tangentes às funções , e no ponto , usando a definição de derivada. Vamos precisar calcular a derivada de cada função via limite, avaliar em para obter os coeficientes angulares, achar o ponto correspondente sobre cada curva e então montar as retas no formato .
Passo 2
Para , aplicamos a definição:
Passo 3
Agora avaliamos em e montamos a reta. Temos e . Logo a reta tangente satisfaz
Passo 4
Para , escrevemos a derivada por definição:
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado , com e . Isso leva a:
Passo 5
Agora em x=-1 temos x+4=3, então
g'(-1)=13,3^2/3, g(-1)=raiz[3]3 A reta tangente é
y-raiz[3]3=13,3^2/3,(x+1)
Passo 6
Para h(x)=2^x-16, usamos
h'(x)=limhto02^x+h-2^xh=2^xlimhto02^h-1h=2^xln2, pois limhto0(2^h-1)/h=ln2.
Passo 7
Em x=-1 dá h'(-1)=2^-1ln2=tfracln22 e h(-1)=2^-1-16=tfrac12-16=-tfrac312. Assim a reta tangente é