Considere as funções:
f(x)=x^2-16 g(x)=raiz[3]x+4 h(x)=2^x-16
Determinar a partir da definição de derivadas:
As equações das retas tangentes das funções no ponto x1=-1.

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangentes às funções f(x)=x^2-16, g(x)=raiz[3]x+4 e h(x)=2^x-16 no ponto x1=-1, usando a definição de derivada. Vamos precisar calcular a derivada de cada função via limite, avaliar em x=-1 para obter os coeficientes angulares, achar o ponto correspondente sobre cada curva e então montar as retas no formato y-y1=m(x-x1).

Passo 2

Para f(x)=x^2-16, aplicamos a definição:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0(x+h)^2-16-(x^2-16)h=limhto02xh+h^2h=limhto0(2x+h)=2x

Passo 3

Agora avaliamos em x=-1 e montamos a reta. Temos f'(-1)=2cdot(-1)=-2 e f(-1)=(-1)^2-16=-15. Logo a reta tangente satisfaz
y-(-15)=-2l(x-(-1)r)Longrightarrow y+15=-2(x+1)Longrightarrow y=-2x-17

Passo 4

Para g(x)=raiz[3]x+4=(x+4)^1/3, escrevemos a derivada por definição:
g'(x)=limhto0(x+4+h)^1/3-(x+4)^1/3h Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado (a^2+ab+b^2), com a=(x+4+h)^1/3 e b=(x+4)^1/3. Isso leva a:
g'(x)=1(x+4+h)^2/3+(x+4+h)^1/3(x+4)^1/3+(x+4)^2/3xrightarrowhto013(x+4)^2/3

Passo 5

Agora em x=-1 temos x+4=3, então
g'(-1)=13,3^2/3, g(-1)=raiz[3]3 A reta tangente é
y-raiz[3]3=13,3^2/3,(x+1)

Passo 6

Para h(x)=2^x-16, usamos
h'(x)=limhto02^x+h-2^xh=2^xlimhto02^h-1h=2^xln2, pois limhto0(2^h-1)/h=ln2.

Passo 7

Em x=-1 h'(-1)=2^-1ln2=tfracln22 e h(-1)=2^-1-16=tfrac12-16=-tfrac312. Assim a reta tangente é
y+312=ln22(x+1)

Resposta

As equações das retas tangentes em x=-1 são:
Para f: y=-2x-17.
Para g: y-raiz[3]3=dfrac13,3^2/3,(x+1).
Para h: y+tfrac312=dfracln22(x+1).

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