Dado o seguinte sistema
X^prime(t)=(cc 2 & -1 3 & -2 ) X(t)
Encontre a solução do sistema de equações dado.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares homogêneas dado por
X'(t)=2 & -13 & -2X(t)
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas de EDOs via autovalores e autovetores, então vamos precisar encontrar o polinômio característico de A, seus autovalores e depois os autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de A: det(A–λI)=0. Temos
det2-lambda & -13 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-1)cdot3 =lambda^2-1
Igualando a zero vem lambda^2-1=0, logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1.

Passo 3

Agora achamos os autovetores associados. Para lambda1=1:
(A-I)v=0 implies 1 & -13 & -3 v1v2 =00
Da primeira linha vem v1-v2=0, então escolhemos o autovetor v^(1)=(1,1)^T.
Para lambda2=-1:
(A+I)v=0 implies 3 & -13 & -1 v1v2 =00
Da equação 3v1-v2=0 vem o autovetor v^(2)=(1,3)^T.

Passo 4

Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
X(t)=C1e^lambda1 tv^(1)+C2e^lambda2 tv^(2)

Resposta

$$\nX(t)=C_1e{t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+C_2e{-t} nX(t)=C1e^t11+C2e^-t13 .
$$

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