Dado o seguinte sistema
Encontre a solução do sistema de equações dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares homogêneas dado por
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas de EDOs via autovalores e autovetores, então vamos precisar encontrar o polinômio característico de A, seus autovalores e depois os autovetores.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de A: det(A–λI)=0. Temos
Igualando a zero vem
, logo os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora achamos os autovetores associados. Para
:
Da primeira linha vem
, então escolhemos o autovetor
.
Para :
Para
Da equação
vem o autovetor
.
Passo 4
Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é combinação linear dos modos próprios:
Resposta
$$\nX(t)=C_1e{t}\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}+C_2e{-t}
.
$$