Considere as funções
e
. Para que
tenha duas raízes reais de sinais contrários, é CORRETO afirmar que:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede que a equação
tenha duas raízes reais de sinais opostos. O conteúdo envolve composição de funções quadráticas e condições sobre as raízes (discriminante e sinal do produto).
Passo 2
Substituímos
em
:
Expandindo, obtemos
Logo a equação composta é
Passo 3
Para que uma equação quadrática tenha duas raízes reais de sinais contrários, precisamos de duas condições: discriminante positivo (raízes reais) e produto das raízes negativo (sinais opostos).
Passo 4
Calculamos o discriminante:
que é sempre positivo, então as raízes são reais e distintas para todo
.
Passo 5
O produto das raízes é dado pelo termo constante sobre o coeficiente de
:
Queremos
, ou seja,
Resolvendo a inequação, suas raízes são
o que dá
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, e a inequação é satisfeita entre as raízes:
.