Considere as funções f(x)=x^2+5 x+6 e g(x)=x+3 a, a in R. Para que (f circ g)(x)=0 tenha duas raízes reais de sinais contrários, é CORRETO afirmar que:
a) 23
b) -5
c) 4
d) -1

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=x^2+5x+6 e g(x)=x+3a e pede que a equação (fcirc g)(x)=0 tenha duas raízes reais de sinais opostos. O conteúdo envolve composição de funções quadráticas e condições sobre as raízes (discriminante e sinal do produto).

Passo 2

Substituímos g(x) em f:
f(g(x))=(x+3a)^2+5(x+3a)+6
Expandindo, obtemos
f(g(x))=x^2+(6a+5)x+(9a^2+15a+6)
Logo a equação composta é
x^2+(6a+5)x+(9a^2+15a+6)=0

Passo 3

Para que uma equação quadrática tenha duas raízes reais de sinais contrários, precisamos de duas condições: discriminante positivo (raízes reais) e produto das raízes negativo (sinais opostos).

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De0,
que é sempre positivo, então as raízes são reais e distintas para todo a.

Passo 5

O produto das raízes é dado pelo termo constante sobre o coeficiente de x^2:
P=9a^2+15a+6
Queremos P<0, ou seja,
9a^2+15a+6<0
Resolvendo a inequação, suas raízes são
a=-15pmraiz15^2-4cdot9cdot62cdot9=-15pm318,
o que dá a=-1 e a=-tfrac23. Como o coeficiente de a^2 é positivo, a parábola abre para cima, e a inequação é satisfeita entre as raízes: -1.

Resposta

-1

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