Encontre a area da regiao limitada pelas curvas:
y=x^wed>= 3-3 x+2
y=x^wed>= 2-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada por duas curvas: $ y = x^3 - 3x + 2 $ e $ y = x^2 - x $. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para descobrir essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Ou seja, vamos resolver a equação $ x^3 - 3x + 2 = x^2 - x $.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para igualar a zero:
x^3 - 3x + 2 - x^2 + x = x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação cúbica $ x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0 $. Podemos tentar fatorar essa equação. Testando $ x = 1 $:
x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0
Então, $ x = 1 $ é uma raiz. Portanto, podemos fatorar $ x - 1 $ da equação. Fazendo a divisão polinomial ou usando a regra de fator, obtemos:
x = 1
Então, as soluções são $ x = 1 $, $ x = \sqrt{2} $ e $ x = -\sqrt{2} $.

Passo 5

Vamos identificar quais dessas raízes estão relevantes para a região que queremos. Geralmente, estamos interessados nas interseções que formam uma área fechada. Observando os gráficos, vemos que os pontos de interseção relevantes são $ x = -1 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $ (ajustando as soluções para simplificar a integração).

Passo 6

Agora, vamos definir a função de cima menos a função de baixo para obter a área:
Área = integrala^b (x^3 - 3x + 2 - (x^2 - x)) , dx = integrala^b (x^3 - x^2 - 2x + 2) , dx Á
Precisamos definir os limites de integração $ a $ e $ b $ com base nos pontos de interseção encontrados.

Passo 7

Integrando a expressão:
integral (x^3 - x^2 - 2x + 2) , dx = x^44 - x^33 - x^2 + 2x
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites $ a $ e $ b $ e subtraímos.

Passo 8

Calculando a área entre os limites $ a = -1 $ e $ b = 2 $:
a = -1 Á
b = 2
Área = [ 2^44 - 2^33 - 2^2 + 2(2) ] - [ (-1)^44 - (-1)^33 - (-1)^2 + 2(-1) ]
= [ 4 - 83 - 4 + 4 ] - [ 14 + 13 - 1 - 2 ]
= ( 4 - 83 ) - ( 14 + 13 - 3 )

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é $ \frac{15}{4} $ unidades quadradas.

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