O crescimento populacional de uma determinada cidade obedece ao seguinte modelo de equação, Q(t)=100+32(1-e^-k t), onde t é dado em anos, Q(t) é dado em milhares de habitantes, no tempo t, e k é uma constante específica desta cidade a ser determinada. Estima-se que daqui a três anos a população será de 128 mil habitantes. Então, de acordo com esse modelo, é CORRETO afirmar que daqui a cinco anos a população, em milhares de habitantes, será de:
a) 133
b) 130
c) 132
d) 131

Passo 1

O enunciado dá o modelo de crescimento populacional Q(t)=100+32l(1-e^-k tr) em milhares de habitantes, e informa que Q(3)=128. O conteúdo aqui é resolução de um modelo exponencial para encontrar a constante k e depois calcular Q(5).

Passo 2

Para achar k, a gente usa Q(3)=128:
100 + 32l(1 - e^-3kr) = 128
Logo:
32l(1 - e^-3kr) = 28
1 - e^-3k = 2832 = 78
e^-3k = 1 - 78 = 18
Tomando logaritmo natural:
-3k = lnl(tfrac18r) = -ln(8)
k = ln(8)3 = 3ln(2)3 = ln(2)

Passo 3

Agora que k=ln(2), calculamos Q(5):
Q(5) = 100 + 32l(1 - e^-5kr)
e^-5k = e^-5ln(2) = 2^-5 = tfrac132
Q(5) = 100 + 32l(1 - tfrac132r) = 100 + 32cdottfrac3132 = 100 + 31 = 131

Resposta

131

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