Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta quatro funções diferentes envolvendo seno, raiz quadrada e arco seno. A gente precisa descobrir qual das afirmações sobre a inversibilidade da função é verdadeira. Basicamente, vamos verificar se
é invertível em certos intervalos e qual das funções dadas é realmente a sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função tem inversa se ela é injetora (ou seja, não repete valores) e sobrejetora no intervalo considerado. Isso garante que cada saída da função original corresponde a exatamente uma entrada na inversa.
Passo 3
Vamos analisar a função . O argumento do seno é
. Como o seno é uma função periódica, precisamos garantir que, no intervalo que estamos estudando,
seja estritamente crescente ou decrescente para ser invertível.
Passo 4
Calculando a derivada de
para verificar se ela é sempre positiva ou negativa no intervalo dado:
No intervalo
,
é positivo e
também se mantém positivo, garantindo que
. Assim,
é estritamente crescente e, portanto, invertível nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa de
. Seja . Para encontrar
:
Aplicando o arco seno em ambos os lados:
Isolando
:
Então, a inversa de
é:
Resposta
A terceira afirmação é verdadeira:
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.