Considere as funções
l f(x)=2+sen(4 x^2-pi2) g(y)=-raizarcsen(y-2)+pi / 24 S(y)=raizarcsen(y+2)+pi / 24 T(y)=raizarcsen(y-2)+pi / 24
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz pi] e a inversa é dada por g(y).
f(x) é inversível no intervalo [0, V(pi / 4)] e a inversa é dada por T(y).
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz pi] e a inversa é dada por T(y).
f(x) é inversível no intervalo [0, V(pi / 4)] e a inversa é dada por S(y).
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz pi] e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta quatro funções diferentes envolvendo seno, raiz quadrada e arco seno. A gente precisa descobrir qual das afirmações sobre a inversibilidade da função é verdadeira. Basicamente, vamos verificar se é invertível em certos intervalos e qual das funções dadas é realmente a sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função tem inversa se ela é injetora (ou seja, não repete valores) e sobrejetora no intervalo considerado. Isso garante que cada saída da função original corresponde a exatamente uma entrada na inversa.

Passo 3

Vamos analisar a função . O argumento do seno é . Como o seno é uma função periódica, precisamos garantir que, no intervalo que estamos estudando, seja estritamente crescente ou decrescente para ser invertível.

Passo 4

Calculando a derivada de f'(x) = ddx[2 + sen(4x^2 - pi2)] = 8x cos(4x^2 - pi2) para verificar se ela é sempre positiva ou negativa no intervalo dado:
No intervalo , é positivo e também se mantém positivo, garantindo que . Assim, é estritamente crescente e, portanto, invertível nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de y - 2 = sen(4x^2 - pi2) . Seja . Para encontrar arcsen(y - 2) = 4x^2 - pi2 :
Aplicando o arco seno em ambos os lados:
Isolando 4x^2 = arcsen(y - 2) + pi2 x^2 = arcsen(y - 2) + pi24 x = raizarcsen(y - 2) + pi24 :
Então, a inversa de f^-1(y) = raizarcsen(y - 2) + pi24 = T(y) é:

Resposta

A terceira afirmação é verdadeira:
é inversível no intervalo e a inversa é dada por .

Exercícios relacionados