Prove que cos 4 a=8 cdot cos ^4 a-8 cdot cos ^2 a+1

Passo 1

O enunciado pede provar a identidade trigonométrica cos4a = 8,cos^4a - 8,cos^2a + 1. O conteúdo abordado é a fórmula de ângulo duplo, especialmente cos2theta = 2cos^2theta - 1. Vamos usar essa relação para reescrever cos4a em função de cos a.

Passo 2

Aplicar a fórmula de ângulo duplo em 4a:
cos4a = cosl(2cdot2ar)
Pela identidade cos2theta = 2cos^2theta - 1, temos
cos4a = 2cos^2(2a) - 1

Passo 3

Expressar cos2a em termos de cos a:
cos2a = 2cos^2a - 1
Então
cos^2(2a) = l(2cos^2a - 1r)^2
Substituindo em cos4a:
cos4a = 2l(2cos^2a - 1r)^2 - 1

Passo 4

Expandir o quadrado e simplificar. Primeiro,
l(2cos^2a - 1r)^2 = 4cos^4a - 4cos^2a + 1
Logo,
cos4a = 2l(4cos^4a - 4cos^2a + 1r) - 1 = 8cos^4a - 8cos^2a + 2 - 1

Passo 5

Finalmente, ao simplificar 2 - 1, obtemos
cos4a = 8cos^4a - 8cos^2a + 1
que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Resposta

cos4a = 8,cos^4a - 8,cos^2a + 1

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