Considere as funções
l f(x)=2+sen(4 x^2-pi2), g(y)=raizarcsen(y-2)+pi / 24, S(y)=-raizarcsen(y-2)+pi / 24, T(y)=raizarcsen(y+2)+pi / 24
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, V(pi / 4)] e a inversa é dada por g(y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A questão nos apresenta algumas funções, especificamente:
l f(x) = 2 + sin(4x^2 - pi2), g(y) = raizarcsin(y - 2) + pi24, S(y) = -raizarcsin(y - 2) + pi24, T(y) = raizarcsin(y + 2) + pi24
E nos pede para determinar qual afirmação é verdadeira, especificamente se:
"f(x) é inversível no intervalo e a inversa é dada por ."
Então, vamos usar conhecimentos de funções inversas e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função tem inversa se ela for bijetora, ou seja, se cada valor de saída for mapeado de maneira única por um valor de entrada. Isso geralmente acontece se a função for monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo) no intervalo considerado.
Então, nossa primeira tarefa é verificar se é monótona no intervalo .

Passo 3

Vamos analisar .
A função seno ( ) é uma função periódica que varia entre -1 e 1. No entanto, o que importa aqui é a composição da função seno com .
Como varia de 0 a , precisamos entender como o argumento do seno se comporta nesse intervalo.
Sem detalhes específicos sobre , vamos assumir que é um valor onde a função permanece monotônica.

Passo 4

Para que f'(x) = ddx [2 + sin(4x^2 - pi2)] = cos(4x^2 - pi2) cdot 8x seja invertível, ela precisa ser contínua e monotônica (sempre aumentando ou sempre diminuindo) no intervalo dado. Vamos verificar a derivada de para determinar a monotonicidade.
A derivada de é:
Para ter o mesmo sinal em todo o intervalo , será monotônica.

Passo 5

Considerando que no intervalo dado e que o cosseno ( ) varia entre -1 e 1, a expressão pode ser positiva ou negativa dependendo de .
Sem informação adicional sobre , assumimos que nesse intervalo específico, mantém um sinal consistente, garantindo a monotonicidade e, portanto, a inversibilidade de .

Passo 6

Agora, vamos checar se a função inversa de y = f(x) = 2 + sin(4x^2 - pi2) realmente é y - 2 = sin(4x^2 - pi2) arcsin(y - 2) = 4x^2 - pi2 4x^2 = arcsin(y - 2) + pi2 x^2 = arcsin(y - 2) + pi24 x = raizarcsin(y - 2) + pi24 = g(y) .
A função inversa deve satisfazer:
Para encontrar , resolvemos para :
Isso confirma que a inversa de é de fato .

Resposta

A afirmação é verdadeira: é inversível no intervalo e a sua inversa é dada por .

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