(a) (1,0 ponto) Em um experimento para a medição da qualidade da água de um corpo hídrico urbano ao longo do ano, a função exponencial b(x)=e^1x^2-14 x+24, onde x representa o tempo em meses ( x=1, janeiro, x=2, fevereiro, e assim em diante), calcula a concentração de bactérias na água para cada mês entre x=1 (jan) e x=12 (fev). Encontre os meses em que a concentração bacteriana na água se torna infinitamente grande (os meses em que a poluição é muito alta). Ou seja, o valor de x0 para que lim x x0 b(x)=+infty.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função de qualidade da água ao longo do ano dada por
b(x)=e^1x^2-14x+24
com x em meses de 1 (jan) a 12 (dez). Precisamos achar os valores x0 em que b(x) fica infinitamente grande, ou seja
limxto x0b(x)=+infty
Isso envolve entender quando o expoente 1/(x^2-14x+24) tende a +infty.

Passo 2

Para que o expoente fique +infty, o denominador
D(x)=x^2-14x+24
vai a zero por valores de x que deixam D(x) positivo e cada vez menor.

Passo 3

Devemos então resolver a equação
x^2-14x+24=0
para encontrar os candidatos a pontos de explosão. Usando a fórmula de Bhaskara:
x=14pmraiz(-14)^2-4cdot1cdot242=14pm102,
logo
x=2ou x=12

Passo 4

Agora analisamos o sinal de D(x):
  • Para x<2 e x>12, o polinômio D(x) é positivo.
  • Para 2, D(x) é negativo.
Isso significa:
  • À medida que xto2^-, temos D(x)to0^+ e portanto 1/D(x)to+infty, logo b(x)to+infty.
  • À medida que xto12^+, teríamos também D(x)to0^+ e b(x)to+infty.

Passo 5

Dentro do nosso período de interesse (meses de 1 a 12), o limite de b(x) cresce sem limite em x=2 (chegando por valores menores que 2) e em x=12 (considerando a extensão teórica pouco além de 12). Portanto, nos meses de fevereiro ( x=2) e dezembro ( x=12) a concentração bacteriana fica infinitamente grande.

Resposta

Os valores de x₀ são 2 e 12, ou seja, nos meses de fevereiro e dezembro.

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