(a) (1,0 ponto) Em um experimento para a medição da qualidade da água de um corpo hídrico urbano ao longo do ano, a função exponencial
, onde x representa o tempo em meses (
, janeiro,
, fevereiro, e assim em diante), calcula a concentração de bactérias na água para cada mês entre
(jan) e
(fev). Encontre os meses em que a concentração bacteriana na água se torna infinitamente grande (os meses em que a poluição é muito alta). Ou seja, o valor de
para que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função de qualidade da água ao longo do ano dada por
com
em meses de 1 (jan) a 12 (dez). Precisamos achar os valores
em que
fica infinitamente grande, ou seja
Isso envolve entender quando o expoente
tende a
.
Passo 2
Para que o expoente fique
, o denominador
vai a zero por valores de
que deixam
positivo e cada vez menor.
Passo 3
Devemos então resolver a equação
para encontrar os candidatos a pontos de explosão. Usando a fórmula de Bhaskara:
logo
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
:
- Para
e , o polinômio é positivo. - Para
, é negativo.
Isso significa:
- À medida que
, temos e portanto , logo . - À medida que
, teríamos também e .
Passo 5
Dentro do nosso período de interesse (meses de 1 a 12), o limite de
cresce sem limite em
(chegando por valores menores que 2) e em
(considerando a extensão teórica pouco além de 12). Portanto, nos meses de fevereiro (
) e dezembro (
) a concentração bacteriana fica infinitamente grande.
Resposta
Os valores de x₀ são 2 e 12, ou seja, nos meses de fevereiro e dezembro.