Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
além de
Precisamos decidir se é verdade que “f é inversível em
e sua inversa é dada por
”. O conteúdo principal é verificar inversibilidade (monotonicidade) e encontrar a inversa usando arcsen e raiz quadrada.
Passo 2
Para verificar inversibilidade de f em
, note que a função interna
é crescente em
, pois
cresce. Além disso, quando
, temos
e nessa faixa a função
também é crescente. Como composição de funções crescentes é crescente,
é injetora (e contínua) nesse intervalo, logo é invertível.
Passo 3
Para achar a inversa, partimos de
Isolando a parte trigonométrica:
Aplicando em ambos os lados:
Daí
Como o domínio de inversão é
, escolhemos o sinal positivo, ou seja,
que coincide com
.
Passo 4
Comparando com
e
vemos que
usa a raiz negativa, mas precisamos da positiva para
. Portanto a inversa correta de
em
é
, não
.
Resposta
A afirmativa é falsa: embora
seja invertível nesse intervalo, sua inversa é dada por
e não por $S(y)
\displaystyle f^{-1}(y)=g(y)=\sqrt{\frac{\arcsen(y-2)+\pi/2}{4}}.