Considere as funções
l f(x)=2+sen(4 x^2-pi2), g(y)=raizarcsen(y-2)+pi / 24, S(y)=-raizarcsen(y-2)+pi / 24, T(y)=raizarcsen(y+2)+pi / 24
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, V(pi / 4)] e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=2+sinl(4x^2-tfracpi2r),
além de
Precisamos decidir se é verdade que “f é inversível em g(y)=raizarcsen(y-2)+tfracpi24, e sua inversa é dada por S(y)=-raizarcsen(y-2)+tfracpi24, ”. O conteúdo principal é verificar inversibilidade (monotonicidade) e encontrar a inversa usando arcsen e raiz quadrada.

Passo 2

Para verificar inversibilidade de f em [0,raizpi/4], note que a função interna
4x^2-tfracpi2
é crescente em x>=0, pois x^2 cresce. Além disso, quando xin[0,raizpi/4], temos
4x^2-tfracpi2in[-tfracpi2,tfracpi2]
e nessa faixa a função sin(u) também é crescente. Como composição de funções crescentes é crescente, f é injetora (e contínua) nesse intervalo, logo é invertível.

Passo 3

Para achar a inversa, partimos de
y=f(x)=2+sinl(4x^2-tfracpi2r)
Isolando a parte trigonométrica:
sinl(4x^2-tfracpi2r)=y-2
Aplicando em ambos os lados:
Daí
Como o domínio de inversão é arcsen, escolhemos o sinal positivo, ou seja,
que coincide com 4x^2-tfracpi2=arcsen(y-2) .

Passo 4

Comparando com S(y) e g(y) vemos que S(y) usa a raiz negativa, mas precisamos da positiva para x>=0. Portanto a inversa correta de f em [0,raizpi/4] é g(y), não S(y).

Resposta

A afirmativa é falsa: embora f seja invertível nesse intervalo, sua inversa é dada por g(y) e não por $S(y)
\displaystyle f^{-1}(y)=g(y)=\sqrt{\frac{\arcsen(y-2)+\pi/2}{4}}.

Exercícios relacionados