Nos exercícios abaixo, escreva a equação diferencial em função da equação auxiliar e resolva-a encontrando as raízes e substituindo-as no CASO mais apropriado (raízes reais distintas, repetidas ou raízes complexas conjugadas).
Encontre a solução geral para a equação diferencial.
16 d^4 yd x^4+24 d^2 yd x^2+9 y=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
16d^4ydx^4 + 24d^2ydx^2 + 9y = 0
Conteúdo: usamos a substituição típica y=e^rx para obter a equação característica em r.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^rx na equação diferencial:
16r^4 + 24r^2 + 9 = 0
Como só aparecem potências pares de r, fazemos m = r^2 para reduzir a um polinômio quadrático.

Passo 3

Substituindo m=r^2 obtemos
16m^2 + 24m + 9 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Logo há uma raiz real dupla:
m = -242cdot16 = -34

Passo 4

Voltando a r, temos
r^2 = -34 Longrightarrow r = pm iraiztfrac34 = pm iraiz32
Como m era raiz dupla, cada uma dessas raízes complexas conjugadas também é de multiplicidade 2.

Passo 5

Temos, portanto, raízes complexas conjugadas repetidas. Para raízes r=alphapm ibeta de multiplicidade 2, a solução geral é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)+C3 xcos(beta x)+C4 xsin(beta x)r)
Aqui alpha=0 e beta=tfracraiz32, e e^0,x=1.

Passo 6

Substituindo alpha e beta, a solução geral fica:

Resposta

y(x)=C1cosl(raiz32xr)+C2sinl(raiz32xr)+C3xcosl(raiz32xr)+C4xsinl(raiz32xr)

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