Nos exercícios abaixo, escreva a equação diferencial em função da equação auxiliar e resolva-a encontrando as raízes e substituindo-as no CASO mais apropriado (raízes reais distintas, repetidas ou raízes complexas conjugadas).
Encontre a solução geral para a equação diferencial.
Encontre a solução geral para a equação diferencial.
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
Conteúdo: usamos a substituição típica
para obter a equação característica em
.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
na equação diferencial:
Como só aparecem potências pares de
, fazemos
para reduzir a um polinômio quadrático.
Passo 3
Substituindo
obtemos
Calculamos o discriminante:
Logo há uma raiz real dupla:
Passo 4
Voltando a
, temos
Como
era raiz dupla, cada uma dessas raízes complexas conjugadas também é de multiplicidade 2.
Passo 5
Temos, portanto, raízes complexas conjugadas repetidas. Para raízes
de multiplicidade 2, a solução geral é
Aqui
e
, e
.
Passo 6
Substituindo
e
, a solução geral fica: