( 0,5 ponto) A taxa de variação instantânea, calculada pela funçāo derivada, é definida pelo limite:
lim h 0 f(a+h)-f(a)h
Explique, através da fórmula da taxa de variação média, a construção e o significado desse limite, sua relação com a reta tangente e a reta secante desenhadas acima e suas respectivas inclinações alpha e beta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre a taxa de variação instantânea, que é calculada pela derivada de uma função. A gente vai usar a fórmula da taxa de variação média para entender como esse limite funciona, e também vamos ver como ele se relaciona com a reta tangente e a reta secante, que têm inclinações chamadas de alpha e beta. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada e entender como as retas tangente e secante se comportam no gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação média. Ela mede como a função muda entre dois pontos. Matematicamente, é dada por:
f(a+h) - f(a)h
Aqui, h é um intervalo pequeno, e a é o ponto onde queremos calcular a taxa de variação.

Passo 3

Agora, a taxa de variação instantânea é o que acontece quando deixamos h ficar cada vez menor, chegando a zero. Isso é exatamente o que o limite:
lim h 0 f(a+h)-f(a)h
está fazendo. Ele calcula a derivada de f no ponto a, que representa a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

Passo 4

Vamos falar sobre as retas secante e tangente. A reta secante corta a curva em dois pontos, a e a+h, e sua inclinação é exatamente a taxa de variação média, ou seja, beta = f(a+h) - f(a)h.
Já a reta tangente toca a curva em apenas um ponto, a, e sua inclinação é a taxa de variação instantânea, alpha = lim h 0 f(a+h)-f(a)h.

Passo 5

Como h se aproxima de zero, a reta secante se aproxima da reta tangente. Isso significa que beta se aproxima de alpha. Portanto, a inclinação da secante está se aproximando da inclinação da tangente à medida que h diminui.

Resposta

A taxa de variação instantânea é o limite da taxa de variação média quando o intervalo h tende a zero, representando a inclinação da reta tangente ( alpha) que se aproxima da inclinação da reta secante ( beta), mostrando como a derivada conecta a mudança média com a mudança instantânea na função.

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