( 0,5 ponto) A taxa de variação instantânea, calculada pela funçāo derivada, é definida pelo limite:
Explique, através da fórmula da taxa de variação média, a construção e o significado desse limite, sua relação com a reta tangente e a reta secante desenhadas acima e suas respectivas inclinações
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre a taxa de variação instantânea, que é calculada pela derivada de uma função. A gente vai usar a fórmula da taxa de variação média para entender como esse limite funciona, e também vamos ver como ele se relaciona com a reta tangente e a reta secante, que têm inclinações chamadas de
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada e entender como as retas tangente e secante se comportam no gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação média. Ela mede como a função muda entre dois pontos. Matematicamente, é dada por:
Aqui,
é um intervalo pequeno, e
é o ponto onde queremos calcular a taxa de variação.
Passo 3
Agora, a taxa de variação instantânea é o que acontece quando deixamos
ficar cada vez menor, chegando a zero. Isso é exatamente o que o limite:
está fazendo. Ele calcula a derivada de
no ponto
, que representa a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.
Passo 4
Vamos falar sobre as retas secante e tangente. A reta secante corta a curva em dois pontos,
e
, e sua inclinação é exatamente a taxa de variação média, ou seja,
.
Já a reta tangente toca a curva em apenas um ponto,
, e sua inclinação é a taxa de variação instantânea,
.
Passo 5
Como
se aproxima de zero, a reta secante se aproxima da reta tangente. Isso significa que
se aproxima de
. Portanto, a inclinação da secante está se aproximando da inclinação da tangente à medida que
diminui.
Resposta
A taxa de variação instantânea é o limite da taxa de variação média quando o intervalo
tende a zero, representando a inclinação da reta tangente (
) que se aproxima da inclinação da reta secante (
), mostrando como a derivada conecta a mudança média com a mudança instantânea na função.