Considere as funções f(x)=5 x-1, g(x)=-x+2 e h(x)=x^2+x+1
a) Se existirem, encontre as inversas de f, g e h.
b) Encontre a lei de formação de p(x)=f cdot g
c) Encontre a lei de formação de q(x)=f circ g
d) Encontre a lei de formação de k(x)=h circ g

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=5x-1, g(x)=-x+2, h(x)=x^2+x+1
e pede:
a) as inversas (se existirem),
b) o produto p(x)=f(x),g(x),
c) a composição q(x)=fl(g(x)r),
d) a composição k(x)=hl(g(x)r).
Para achar inversa trocamos x e y na equação y=f(x) e isolamos y. Para produto usamos a definição ponto a ponto e para composições substituímos uma função na outra.

Passo 2

Encontrando f^-1: escrevemos
y = 5x - 1,
trocamos x e y e isolamos y:
x = 5y - 1 Longrightarrow y = x + 15
Logo
f^-1(x) = x + 15

Passo 3

Encontrando g^-1: partimos de
y = -x + 2,
trocamos x e y e isolamos y:
x = -y + 2 Longrightarrow y = -x + 2
Portanto
g^-1(x) = -x + 2,
isto é, g é sua própria inversa.

Passo 4

Analisando h(x)=x^2+x+1, vemos que é uma parábola com concavidade voltada para cima, não injetora em R. Logo não existe inversa global em R.
Se restringíssemos o domínio a um ramo monotônico (por exemplo x>= -tfrac12), resolveríamos
y = x^2 + x + 1 Longrightarrow x^2 + x + (1 - y)=0
com discriminante De<a = 1 - 4(1-y) = 4y - 3, dando as raízes
x = -1 pm raiz4y - 32
Mas sem restrição não há inversa única em R.

Passo 5

Produto p(x)=f(x),g(x):
p(x) = (5x - 1)(-x + 2) = -5x^2 +10x + x - 2 = -5x^2 + 11x - 2

Passo 6

Composição q(x)=fl(g(x)r):
q(x) = f(-x + 2) = 5(-x+2) - 1 = -5x + 10 - 1 = -5x + 9

Passo 7

Composição k(x)=hl(g(x)r):
k(x) = h(-x+2) = (-x+2)^2 + (-x+2) + 1 = x^2 -4x +4 - x + 2 + 1 = x^2 -5x + 7

Resposta

a)
f^-1(x)=x+15, g^-1(x)=-x+2,
h não é invertível em R (não é bijetora).
b) p(x) = -5x^2 + 11x - 2
c) q(x) = -5x + 9
d) k(x) = x^2 - 5x + 7

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