Considere as funções
e
a) Se existirem, encontre as inversas de
e
.
b) Encontre a lei de formação de
c) Encontre a lei de formação de
d) Encontre a lei de formação de
a) Se existirem, encontre as inversas de
b) Encontre a lei de formação de
c) Encontre a lei de formação de
d) Encontre a lei de formação de
Passo 1
O enunciado define as funções
e pede:
a) as inversas (se existirem),
b) o produto ,
c) a composição ,
d) a composição .
Para achar inversa trocamos e
na equação
e isolamos
. Para produto usamos a definição ponto a ponto e para composições substituímos uma função na outra.
a) as inversas (se existirem),
b) o produto
c) a composição
d) a composição
Para achar inversa trocamos
Passo 2
Encontrando
: escrevemos
trocamos
e
e isolamos
:
Logo
Passo 3
Encontrando
: partimos de
trocamos
e
e isolamos
:
Portanto
isto é,
é sua própria inversa.
Passo 4
Analisando
, vemos que é uma parábola com concavidade voltada para cima, não injetora em
. Logo não existe inversa global em
.
Se restringíssemos o domínio a um ramo monotônico (por exemplo ), resolveríamos
Se restringíssemos o domínio a um ramo monotônico (por exemplo
com discriminante
, dando as raízes
Mas sem restrição não há inversa única em
.
Passo 5
Produto
:
Passo 6
Composição
:
Passo 7
Composição
:
Resposta
a)
não é invertível em
(não é bijetora).
b)
c)
d)