3^a Questão (8 pts) Um retângulo A B C D, no primeiro quadrante do plano cartesiano, tem o vértice A sobre a origem e os lados A B e A D sobre os eixos coordenados. Encontre as coordenadas de C que minimiza a área do retângulo, sabendo que ele está sobre a curva de equação y=8-x^3

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo ABCD no primeiro quadrante com A=(0,0), B=(x,0), D=(0,y) e C=(x,y). Sabe-se que C está sobre a curva
y = 8 - x^3,
e pede-se o ponto C que extremiza (o problema, corretamente, deve pedir a maximizacão) a área do retângulo. Vamos modelar a área em função de x e achar seu extremo.

Passo 2

A área do retângulo é
A(x) = x cdot y = xl(8 - x^3r) = 8x - x^4
Como C fica no primeiro quadrante, impomos y>=0Rightarrow 8 - x^3>=0, logo 0<= x<= 2.

Passo 3

Para achar extremos, calculamos a derivada
A'(x) = ddxl(8x - x^4r) = 8 - 4x^3,
e igualamos a zero:
8 - 4x^3 = 0 Longrightarrow x^3 = 2 Longrightarrow x = raiz[3]2

Passo 4

Verificamos a natureza do extremo com a segunda derivada:
A''(x) = ddx(8 - 4x^3) = -12x^2<0 para x>0
Como A''(raiz[3]2)<0, o ponto é de máximo. Logo o retângulo de área máxima corresponde a
x = raiz[3]2, y = 8 - l(raiz[3]2r)^3 = 6

Resposta

As coordenadas de C que maximizam a área são
boxedl(raiz[3]2,,6r)

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