Questão (8 pts) Um retângulo
, no primeiro quadrante do plano cartesiano, tem o vértice
sobre a origem e os lados
e
sobre os eixos coordenados. Encontre as coordenadas de
que minimiza a área do retângulo, sabendo que ele está sobre a curva de equação
…
Passo 1
O enunciado descreve um retângulo
no primeiro quadrante com
,
,
e
. Sabe-se que
está sobre a curva
e pede-se o ponto
que extremiza (o problema, corretamente, deve pedir a maximizacão) a área do retângulo. Vamos modelar a área em função de
e achar seu extremo.
Passo 2
A área do retângulo é
Como
fica no primeiro quadrante, impomos
, logo
.
Passo 3
Para achar extremos, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos a natureza do extremo com a segunda derivada:
Como
, o ponto é de máximo. Logo o retângulo de área máxima corresponde a
Resposta
As coordenadas de
que maximizam a área são