Seja A um anel com unidade 1_{A} e \varphi: \mathbb{Z} \rightarrow A definidade por \varphi(n)=n \cdot 1_{A}.
(a) Mostre que \varphi é um homomorfismo.
(b) Mostre que I=\left\{m \in \mathbb{Z} \mid m 1_{A}=0\right\} é um ideal de \mathbb{Z}.
(c) O ideal do item anterior é o \operatorname{Ker}(\varphi) . \operatorname{Se} \operatorname{Ker}(\varphi)=\{0\} dizemos que o anel tem característica zero. Se \operatorname{Ker}(\varphi) \neq\{0\}, existe p \in \mathbb{Z} positivo tal que \operatorname{Ker}(\varphi)=p \mathbb{Z}, e A é uma anel de característica p. Mostre que se A é um domínio de integridade, então p é primo e p \cdot a=0, \forall a \in A.
Passo 1
O enunciado define um anel com unidade A (ou seja, anel com elemento unidade denotado por 1_{A}) e a aplicação
onde n\cdot 1_{A} significa a soma de 1_{A} consigo mesmo n vezes quando n\ge0 e o inverso aditivo correspondente quando n<0.\n
As perguntas são:
(a) Mostrar que \varphi é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto, e envia 1 para 1_{A}).\n
(b) Mostrar que
I=\{m\in\mathbb{Z}\mid m\cdot 1_{A}=0\}
é um ideal de \mathbb{Z}.\n
(c) Verificar que I=\ker(\varphi). Se \ker(\varphi)=\{0\} dizemos que A tem característica zero. Se \ker(\varphi)\neq\{0\} existe p>0 tal que \ker(\varphi)=p\mathbb{Z} e A tem característica p. Mostrar que, se A é um domínio de integridade, então esse p é primo e p\cdot a=0 para todo a\in A.\n
(Só identificamos o que é pedido e as informações dadas; agora vamos resolver passo a passo.)
Passo 2
Definições e ideia para (a): um homomorfismo de anéis (no sentido aqui pedido) é uma aplicação que preserva a adição e a multiplicação entre os anéis e envia o 1 de \mathbb{Z} para 1_{A}. Vou verificar:
\varphi(n+m)=\varphi(n)+\varphi(m).\n
\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m).\n
\varphi(1)=1_{A}.\n
Explico como interpretar n\cdot 1_{A}: para n\ge0,
para n<0 temos n\cdot 1_{A}=-(|n|\cdot 1_{A}), e 0\cdot 1_{A}=0_{A} (o elemento neutro aditivo de A). Isso é a definição usual de múltiplo inteiro de um elemento de um grupo abeliano.
Passo 3
Prova das propriedades de (a).\n
Soma: para n,m\in\mathbb{Z} temos, pela definição de soma de inteiros aplicados a 1_{A},
(Para casos com sinais usa-se a definição de número negativo como inverso aditivo e a propriedade distributiva da soma; a igualdade é imediata pelo significado de n\cdot 1_{A}.)\n
Razão: se m\ge0 então m\cdot 1_{A}=\underbrace{1_{A}+\cdots+1_{A}}_{m} e multiplicar esse elemento por n\cdot 1_{A} equivale a somar n\cdot 1_{A} consigo mesmo m vezes, ou seja, (n\cdot 1_{A})(m\cdot 1_{A}) = \underbrace{n\cdot 1_{A}+\cdots+n\cdot 1_{A}}_{m}=(nm)\cdot 1_{A}. Para sinais negativas procede-se analogamente usando inversos aditivos; a propriedade decorre das leis distributivas do anel. Portanto a igualdade vale para todos m.\n
Unidade: \varphi(1)=1\cdot 1_{A}=1_{A}.\n
Conclusão do passo: \varphi preserva soma, produto e unidade, logo é um homomorfismo de anéis.
Passo 4
Prova de (b): mostrar que
I=\{m\in\mathbb{Z}\mid m\cdot 1_{A}=0\}
é um ideal de \mathbb{Z}.\n
Lembrando: em \mathbb{Z} um subconjunto I é ideal se (i) é subgrupo aditivo e (ii) fechado por multiplicação por qualquer inteiro (isto é, k\cdot m\in I para todo k\in\mathbb{Z} e m\in I).\n
Não vazio: 0\in I porque 0\cdot 1_{A}=0_{A}.\n
Fechamento por subtração (subgrupo aditivo): se m,n\in I então
Caso \ker(\varphi)=\{0\}: então por definição não existe n\neq0 com n\cdot 1_{A}=0; dizemos que A tem característica zero.\n
Caso \ker(\varphi)\neq\{0\}: como \ker(\varphi)=I é um ideal não trivial de \mathbb{Z}, existe algum inteiro positivo em I. Pelo princípio do bom ordenamento dos naturais, existe o menor inteiro positivo p\in I. Vou mostrar que I=p\mathbb{Z}. Tome m\in I. Pela divisão euclidiana existe q,r\in\mathbb{Z} com
m=qp+r,\qquad 0\le r<p.
Então
r=m-qp\in I
porque m\in I e qp\in I. Pela minimalidade de p (nenhum número positivo menor que p pertence a I) segue que r=0. Logo m=qp é múltiplo de p. Portanto I\subset p\mathbb{Z}; a inclusão inversa p\mathbb{Z}\subset I é óbvia porque p\in I. Assim I=p\mathbb{Z}. Isso mostra que a característica de A é p (o menor inteiro positivo que anula 1_{A}).\n
Observação: essa prova é a maneira clássica de mostrar que todos os ideais de \mathbb{Z} são gerados por um único inteiro.
Passo 6
Propriedades quando A é domínio de integridade: mostrar que p é primo e p\cdot a=0 para todo a\in A.\n
Definição usada: A é domínio de integridade significa que A é um anel comutativo com 1_{A}\neq 0_{A} e sem divisores de zero (se xy=0 então x=0 ou y=0).\n
Primeiro, p\cdot 1_{A}=0_{A} por definição de p (pois p\in\ker(\varphi)). Quero mostrar que p é primo como inteiro, isto é, se p=ab com inteiros a,b>1 então chega-se a contradição.\n
Suponha p=ab com 1<a,b<p. Então, usando a propriedade multiplicativa de \varphi,
Como A não tem divisores de zero, segue que a\cdot 1_{A}=0_{A} ou b\cdot 1_{A}=0_{A}. Mas isso significaria que a\in I ou b\in I com 0<a<p, contradizendo a escolha de p como menor inteiro positivo em I. Logo tal fatoração não existe: p não pode ser composto, portanto p é primo.\n
Agora mostro que p\cdot a=0_{A} para todo a\in A. Note que
p\cdot a=(p\cdot 1_{A})\cdot a = 0_{A}\cdot a = 0_{A},
porque p\cdot 1_{A}=0_{A}. Assim todo elemento de A é anulado pela soma de 1_{A}p vezes; em outras palavras, o escalar inteiro p age trivialmente sobre A.\n
Isso conclui a prova das propriedades pedidas quando A é domínio de integridade.
Resposta
(a) \varphi é um homomorfismo de anéis porque \varphi(n+m)=\varphi(n)+\varphi(m), \varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m) e \varphi(1)=1_{A}.\n
(b) I=\{m\in\mathbb{Z}\mid m\cdot 1_{A}=0\} é um ideal de \mathbb{Z} (fecha por subtração e por multiplicação por quaisquer inteiros).\n
(c) I=\ker(\varphi). Se \ker(\varphi)=\{0\} dizemos que A tem característica 0. Se \ker(\varphi)\neq\{0\} então existe p>0 tal que \ker(\varphi)=p\mathbb{Z} (o menor inteiro positivo do núcleo) e A tem característica p. Se, além disso, A é domínio de integridade, então p é primo e p\cdot a=0 para todo a\in A.