Considere as funções abaixo:
f(x, y)=x^22+y^22 ; g(x, y)=xx^2+y^2-1 e h(x, y)=ln (y+1)-raiz2-x
Determine e esboce o domínio de f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de e a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender os domínios de funções multivariadas, que basicamente analisam onde a função não apresenta problemas como divisão por zero, raízes de números negativos, logaritmos de números não positivos, entre outros. No caso de , vamos verificar se há alguma restrição nos valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da função: . Aqui, temos dois termos:
  1. : Esse termo envolve o quadrado de dividido por 2. Como o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo e estamos dividindo por um número real (2), esse termo está definido para todo real.
  2. : Da mesma forma, esse termo envolve o quadrado de dividido por 2. Novamente, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, e estamos dividindo por um número real, então esse termo também está definido para todo real.

Passo 3

Agora, vamos considerar se existe alguma interação entre e que possa restringir o domínio. Na função , os termos de e estão separados e não se dependem um do outro. Não há denominadores que envolvam ou , nem raízes ou logaritmos que possam impor restrições adicionais.

Passo 4

Como não encontramos nenhum ponto onde a função não está definida, concluímos que os valores de e podem ser quaisquer números reais. Ou seja, não há restrições para ou na função .

Resposta

O domínio de é todo o plano real, ou seja, todos os pares onde e são números reais.

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