Considere as funções f(x)=arctg x+arctg(1x) e g(x)=arcsen x+arccos x, definidas, respectivamente, para x>0 e para x in[-1,1].
a) Mostre que f^prime(x)=0, forall x>0, e que g^prime(x)=0, forall x in(-1,1).
b) Lembrando que as funções constantes são as que possuem derivada nula, mostre que f(x)=pi2, forall x>0, e que g(x)=pi2, forall x in[-1,1].

Passo 1

O enunciado define
f(x)=arctgx+arctg(1/x) para x>0
e
g(x)=arcsin x+arccos x para xin[-1,1].
Vamos usar as fórmulas de derivada das funções trigonométricas inversas:
ddxarctan x=11+x^2,
ddxarcsin x=1raiz1-x^2 e
ddxarccos x=-1raiz1-x^2.

Passo 2

Para f aplicamos a regra da soma e a regra da cadeia:
f'(x) = ddxl(arctgxr) + ddxl(arctg(1/x)r) = 11+x^2 + -1/x^21+(1/x)^2 = 11+x^2-11+x^2 =0
Logo f'(x)=0 para todo x>0.

Passo 3

Para g usamos também a regra da soma:
g'(x) = ddx(arcsin x)+ddx(arccos x) = 1raiz1-x^2 -1raiz1-x^2 =0,
para todo xin(-1,1).

Passo 4

Como f'(x)=0 em (0,infty), f é constante nesse intervalo. Basta avaliar em um ponto, por exemplo x=1:
f(1)=arctan1+arctan1=pi4+pi4=pi2
Logo f(x)=pi2 para todo x>0.

Passo 5

De modo análogo, g'(x)=0 em (-1,1) implica que g é constante nesse intervalo. Avaliando em x=0 temos
g(0)=arcsin0+arccos0=0+pi2=pi2
Nos extremos,
arcsin(-1)+arccos(-1)=-pi2+pi=pi2 e
arcsin1+arccos1=pi2+0=pi2.
Portanto g(x)=pi2 para todo xin[-1,1].

Resposta

f(x)=pi2, forall x>0
g(x)=pi2, forall xin[-1,1]

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