Considere as funções
e
, definidas, respectivamente, para
e para
.
a) Mostre que
, e que
.
b) Lembrando que as funções constantes são as que possuem derivada nula, mostre que
, e que
.
a) Mostre que
b) Lembrando que as funções constantes são as que possuem derivada nula, mostre que
Passo 1
O enunciado define
para
e
para
.
Vamos usar as fórmulas de derivada das funções trigonométricas inversas:
,
e
.
e
Vamos usar as fórmulas de derivada das funções trigonométricas inversas:
Passo 2
Para
aplicamos a regra da soma e a regra da cadeia:
Logo
para todo
.
Passo 3
Para
usamos também a regra da soma:
para todo
.
Passo 4
Como
em
,
é constante nesse intervalo. Basta avaliar em um ponto, por exemplo
:
Logo
para todo
.
Passo 5
De modo análogo,
em
implica que
é constante nesse intervalo. Avaliando em
temos
Nos extremos,
e
.
Portanto para todo
.
Portanto