Encontre as seguintes primitivas:
integral 2 x(x+1)^2008 d x

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva F(x) tal que
F'(x)=2x(x+1)^2008
O conteúdo é cálculo de antiderivada de uma função polinomial composta com potência. Para resolver, vamos primeiro reescrever o integrando de modo a facilitar a integração.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências de (x+1):
2x(x+1)^2008 =2l((x+1)-1r)(x+1)^2008 =2(x+1)^2009-2(x+1)^2008

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral 2(x+1)^2009,dx =22010(x+1)^2010, integral 2(x+1)^2008,dx =22009(x+1)^2009
Portanto, uma primitiva geral é
F(x) =22010(x+1)^2010 -22009(x+1)^2009 + C

Passo 4

Simplificando a primeira fração, tfrac22010=tfrac11005, obtemos
F(x) =(x+1)^20101005 -2(x+1)^20092009 + C

Resposta

(x+1)^20101005 -2(x+1)^20092009 + C

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