Se f é uma função derivável, tal que f(2)=1 e f^prime(2)=1 / 2, determine a equação da reta tangente à curva y=arctg(f(x)), no ponto de abscissa x=2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função y=arctanl(f(x)r), onde f é derivável com f(2)=1 e f'(2)=tfrac12. Queremos a reta tangente a essa curva no ponto de abscissa x=2. Para isso vamos precisar do ponto de tangência e da derivada de y em função de x, usando o teorema da cadeia e a regra de derivação de arctan.

Passo 2

Calculamos o ponto de tangência. Como y=arctan(f(x)), em x=2 temos
y(2)=arctanl(f(2)r)=arctan(1)=pi4
Logo o ponto é l(2,tfracpi4r).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivar y. Sabemos que
ddul(arctan(u)r)=11+u^2,
então, fazendo u=f(x),
y'=ddxarctanl(f(x)r) =f'(x)1+l(f(x)r)^2

Passo 4

Avaliamos a derivada em x=2:
y'(2) =f'(2)1+l(f(2)r)^2 =tfrac121+1^2 =tfrac122 =14
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é m=tfrac14.

Passo 5

A equação da reta tangente, na forma ponto-declive, é
y - y0 = m,(x - x0),
onde (x0,y0)=(2,tfracpi4) e m=tfrac14. Substituindo,
y - pi4 = 14,(x - 2)

Resposta

y - pi4 = 14,(x - 2)

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