Considere as funções em coordenadas polares
r=25 sen theta e r=49 sen theta
Para tais funções, responda o que se pede:
Esboce as curvas no mesmo plano polar.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, no mesmo plano polar, as curvas dadas por r=25
senθ e r=49
senθ. Vamos usar a teoria de conversão de coordenadas polares para cartesianas e identificar a forma das curvas.

Passo 2

Primeiro, lembre que em coordenadas polares valem as relações x=r
cosθ, y=r
sinθ e r2=x2+y^2. Para r=25
senθ, multiplicamos ambos os lados por r:
r^2 = 25 r sinθ
Substituindo r^2 e r
sinθ em termos de x e y:
$$x^2 + y^2 = 25
y x^2 + y^2 = 25 yx^2 + y^2 - 25y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + (y - 12.5)^2 = (12.5)^2$$

Passo 3

Isso mostra que r=25
senθ é a circunferência de centro (0,
12.5) e raio 12.5. Como r≥0 só para senθ≥0, usamos apenas θ∈[0,π], ou seja, a semicircunferência acima do eixo x.

Passo 4

Agora para r=49
senθ repetimos o processo:
r^2 = 49 r sinθ
$$x^2 + y^2 = 49
y$$
x^2 + y^2 = 49 y

Passo 5

Logo, r=49
senθ é a circunferência de centro (0,
24.5) e raio 24.5, também representada só para θ∈[0,π], isto é, outra semicircunferência acima do eixo x.

Passo 6

No esboço final, desenhe o semiplano superior e trace duas semicircunferências concêntricas em relação ao eixo y: a menor (raio 12.5, centro em y=12.5) contida inteiramente dentro da maior (raio 24.5, centro em y=24.5).

Resposta

As curvas são semicircunferências no semiplano superior: r=25 senθ é a semicircunferência de raio 12,5 centrada em (0,12,5) e r=49 senθ é a semicircunferência de raio 24,5 centrada em (0,24,5), ambas para θ∈[0,π], desenhadas no mesmo plano polar acima do eixo x.

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