Considere as funções em coordenadas polares
Para tais funções, responda o que se pede:
Esboce as curvas no mesmo plano polar.
Esboce as curvas no mesmo plano polar.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar, no mesmo plano polar, as curvas dadas por r=25
senθ e r=49
senθ. Vamos usar a teoria de conversão de coordenadas polares para cartesianas e identificar a forma das curvas.
senθ e r=49
senθ. Vamos usar a teoria de conversão de coordenadas polares para cartesianas e identificar a forma das curvas.
Passo 2
Primeiro, lembre que em coordenadas polares valem as relações x=r
cosθ, y=r
sinθ e r2=x2+y^2. Para r=25
senθ, multiplicamos ambos os lados por r:
cosθ, y=r
sinθ e r2=x2+y^2. Para r=25
senθ, multiplicamos ambos os lados por r:
Substituindo r^2 e r
sinθ em termos de x e y:
sinθ em termos de x e y:
$$x^2 + y^2 = 25
y
x^2 + y^2 - 25y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + (y - 12.5)^2 = (12.5)^2$$
Passo 3
Isso mostra que r=25
senθ é a circunferência de centro (0,
12.5) e raio 12.5. Como r≥0 só para senθ≥0, usamos apenas θ∈[0,π], ou seja, a semicircunferência acima do eixo x.
senθ é a circunferência de centro (0,
12.5) e raio 12.5. Como r≥0 só para senθ≥0, usamos apenas θ∈[0,π], ou seja, a semicircunferência acima do eixo x.
Passo 4
Agora para r=49
senθ repetimos o processo:
senθ repetimos o processo:
$$x^2 + y^2 = 49
y$$
Passo 5
Logo, r=49
senθ é a circunferência de centro (0,
24.5) e raio 24.5, também representada só para θ∈[0,π], isto é, outra semicircunferência acima do eixo x.
senθ é a circunferência de centro (0,
24.5) e raio 24.5, também representada só para θ∈[0,π], isto é, outra semicircunferência acima do eixo x.
Passo 6
No esboço final, desenhe o semiplano superior e trace duas semicircunferências concêntricas em relação ao eixo y: a menor (raio 12.5, centro em y=12.5) contida inteiramente dentro da maior (raio 24.5, centro em y=24.5).
Resposta
As curvas são semicircunferências no semiplano superior: r=25 senθ é a semicircunferência de raio 12,5 centrada em (0,12,5) e r=49 senθ é a semicircunferência de raio 24,5 centrada em (0,24,5), ambas para θ∈[0,π], desenhadas no mesmo plano polar acima do eixo x.