Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=cos(π−2x²)−5 e pergunta se ela é invertível no intervalo x∈[−√(π/2),0] com inversa S(y)=−√((π−arccos(y+5))/2). Vamos usar conceitos de monotonicidade e inversão de funções compostas.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade de f em [−√(π/2),0], note que definimos θ(x)=π−2x². Em x=−√(π/2) temos θ=0 e em x=0 temos θ=π. Como x aumenta (de negativo para zero), x² diminui, logo θ aumenta de 0 até π. Na sequência, cos(θ) é função estritamente decrescente em [0,π]. Logo f(x)=cos(θ(x))−5 também é estritamente decrescente em [−√(π/2),0], o que garante que f é invertível nesse intervalo.
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos y=cos(π−2x²)−5. Então y+5=cos(π−2x²) e aplicamos arccos: arccos(y+5)=π−2x². Desse modo 2x²=π−arccos(y+5) e x²=(π−arccos(y+5))/2. Como no domínio considerado x≤0, escolhemos a raiz negativa: x=−√((π−arccos(y+5))/2). Essa expressão coincide exatamente com S(y).
Passo 4
Falta só conferir o domínio de S: é necessário que y+5∈[−1,1], ou seja y∈[−6,−4], que é precisamente a imagem de f em [−√(π/2),0]. Portanto tudo bate.
Resposta
A afirmação é verdadeira.