Seja F o campo vetorial F(x, y, z)=(y z, 2 y,-x^2). Calcule a integral de linha integralC F cdot d s=integralC y z d x+ 2 y d y-x^2 d z, onde C é:
a curva x(t)=t, y(t)=t^2 e z(t)=t^3 com t in[0,1] que liga (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos o campo vetorial F(x,y,z) = (yz, 2y, -x^2) e queremos calcular a integral de linha integralC Fcdot ds = integralC y z,dx + 2y,dy - x^2,dz. A curva C é dada por x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3 para tin[0,1]. Vamos usar a definição de integral de linha via parametrização: integralC Fcdot ds = integrala^b F(r(t))cdot r'(t),dt.

Passo 2

Parametrização e derivada: Definimos r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t, t^2, t^3). A seguir calculamos a derivada componente a componente: r'(t) = (1, 2t, 3t^2).

Passo 3

Substituição no integrando e produto escalar: Primeiro avaliamos o campo em r(t): F(r(t)) = (y(t)z(t), 2y(t), -x(t)^2) = (t^2cdot t^3, 2t^2, -t^2) = (t^5, 2t^2, -t^2). Em seguida fazemos o produto escalar com r'(t): F(r(t))cdot r'(t) = t^5cdot 1 + 2t^2cdot(2t) + (-t^2)cdot(3t^2) = t^5 + 4t^3 - 3t^4

Passo 4

Cálculo da integral: Agora integramos de 0 a 1 termo a termo: integral0^1 (t^5 + 4t^3 - 3t^4),dt = integral0^1 t^5,dt + 4integral0^1 t^3,dt - 3integral0^1 t^4,dt Calculando cada parte obtemos 1/6 + 4cdot(1/4) - 3cdot(1/5) = 1/6 + 1 - 3/5 Unindo as frações: 1 = 30/30,;1/6 = 5/30,;3/5 = 18/30, logo o resultado é (30 + 5 - 18)/30 = 17/30

Resposta

17/30

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