Considere o problema de Dirichlet
ut=ux x & se 00 u(x, 0)=e^x-x^4 cos x+log raizx & se 0 <= x <= 1 u(0, t)=-5 & se t >= 0 u(1, t)=10 & se t >= 0
Qual é a solução de estado estacionário do problema?

Passo 1

O enunciado propõe a equação do calor ut = uxx em 00 com condições de Dirichlet u(0,t)=-5 e u(1,t)=10. Queremos achar o estado estacionário, ou seja, a solução quando u não depende mais de t.

Passo 2

No estado estacionário temos ut=0, logo a equação parcial se reduz à equação ordinária uxx=0.

Passo 3

Integrando uxx=0 uma vez em x obtemos ux(x)=A, onde A é constante. Integrando mais uma vez, temos u(x)=A x + B, com constantes A e B.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno: em x=0, u(0)=B=-5; em x=1, u(1)=Acdot1 + B = 10. Substituindo B=-5 na segunda condição dá A-5=10, logo A=15.

Passo 5

Portanto a solução de estado estacionário é a reta us(x)=15x - 5.

Resposta

us(x) = -5 + 15x

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