Considere as funções
l f(x)=cos (pi-4 x^2)-5 g(y)=-raizpi-arcos(y+5)4, S(y)=raizpi-arcos(y+5)4, T(y)=raizpi-arcos(y-5)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz(pi / 4)] e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

O exercício quer saber se a função f(x)=cos(pi-4x^2)-5 é inversível em [0,raizpi/4] e se a sua inversa coincide com S(y)=raizpi-arccos(y+5)4. O conteúdo é de função inversa: precisamos checar injetividade (monotonicidade), imagem de f no intervalo dado e derivar a expressão de f^-1(y).

Passo 2

Vamos reescrever f(x) usando a identidade cos(pi-theta)=-costheta. Assim,
f(x)=cos(pi-4x^2)-5=-cos(4x^2)-5

Passo 3

Agora, note que 4x^2 cresce de 0 a pi quando x vai de 0 a raizpi/4. Como cos(t) é estritamente decrescente em [0,pi], então -cos(4x^2) é estritamente crescente. Somando -5 não altera essa monotonicidade. Logo, f(x) é estritamente crescente em [0,raizpi/4] e, portanto, injetora.

Passo 4

Para achar a imagem de f, avaliamos nos extremos:
f(0)=cospi-5=-1-5=-6,
f(raizpi/4)=cos(pi-pi)-5=cos0-5=1-5=-4 Assim, f mapeia [0,raizpi/4] em [-6,-4].

Passo 5

Para achar a inversa, definimos y=f(x)=-cos(4x^2)-5. Isolando:
y+5=-cos(4x^2)implies cos(4x^2)=-(y+5) Aplicando arccos e usando arccos(-u)=pi-arccos(u):
4x^2=arccosl(-(y+5)r)=pi-arccos(y+5) Logo,
x=raizpi-arccos(y+5)4=S(y) Isso mostra que a inversa de f em [0,raizpi/4] é exatamente S(y).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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