Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por S(y).
Passo 1
O exercício quer saber se a função
é inversível em
e se a sua inversa coincide com
. O conteúdo é de função inversa: precisamos checar injetividade (monotonicidade), imagem de
no intervalo dado e derivar a expressão de
.
Passo 2
Vamos reescrever
usando a identidade
. Assim,
Passo 3
Agora, note que
cresce de 0 a
quando
vai de 0 a
. Como
é estritamente decrescente em
, então
é estritamente crescente. Somando
não altera essa monotonicidade. Logo,
é estritamente crescente em
e, portanto, injetora.
Passo 4
Para achar a imagem de
, avaliamos nos extremos:
Passo 5
Para achar a inversa, definimos
. Isolando:
Resposta
A afirmação é verdadeira.